Упр.6.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$\sqrt[3]{100+51\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}$$;
  б) $$\sqrt{9-4\sqrt{5}}-\sqrt[3]{16+8\sqrt{5}}$$;
  в) $$\sqrt[3]{37+30\sqrt{3}}+\sqrt{61-28\sqrt{3}}$$;
  г) $$\sqrt{17-12\sqrt{2}}+\sqrt[3]{99+70\sqrt{2}}$$.

а) $$\sqrt[3]{100+51\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}$$

Представим подкоренные выражения в виде полных степеней:

$$100+51\sqrt3=(4+\sqrt3)^3,$$

$$4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2.$$

Тогда

$$\sqrt[3]{100+51\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}=(4+\sqrt3)-(\sqrt3-1)=5.$$

б) $$\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt[3]{16+8\sqrt5}$$

Заметим, что

$$9-4\sqrt5=(\sqrt5-2)^2,$$

$$16+8\sqrt5=(1+\sqrt5)^3.$$

Следовательно,

$$\sqrt{9-4\sqrt5}-\sqrt[3]{16+8\sqrt5}=(\sqrt5-2)-(1+\sqrt5)=-3.$$

в) $$\sqrt[3]{37+30\sqrt3}+\sqrt{61-28\sqrt3}$$

Представим выражения в виде полного куба и полного квадрата:

$$37+30\sqrt3=(1+2\sqrt3)^3,$$

$$61-28\sqrt3=(7-2\sqrt3)^2.$$

Тогда

$$\sqrt[3]{37+30\sqrt3}+\sqrt{61-28\sqrt3}=(1+2\sqrt3)+(7-2\sqrt3)=8.$$

г) $$\sqrt{17-12\sqrt2}+\sqrt[3]{99+70\sqrt2}$$

Имеем:

$$17-12\sqrt2=(3-2\sqrt2)^2,$$

$$99+70\sqrt2=(3+2\sqrt2)^3.$$

Значит,

$$\sqrt{17-12\sqrt2}+\sqrt[3]{99+70\sqrt2}=(3-2\sqrt2)+(3+2\sqrt2)=6.$$

Ответ: а) $$5$$; б) $$-3$$; в) $$8$$; г) $$6$$.