Упр.5.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Исследуйте функцию и постройте её график:
а) $$y=\sqrt{4x^2+4x-3}$$; в) $$y=\sqrt{2x^2-x-3}$$; б) $$y=\sqrt{2+3x-2x^2}$$; г) $$y=\sqrt{4-11x-3x^2}$$.
а) $$y=\sqrt{4x^2+4x-3}$$
Область определения:
$$4x^2+4x-3\ge 0$$
$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{8}$$
$$x_1=-\frac32,\qquad x_2=\frac12$$
$$\left(x+\frac32\right)\left(x-\frac12\right)\ge 0$$
$$x\le -\frac32,\qquad x\ge \frac12$$
Производная:
$$y'(x)=\frac{8x+4}{2\sqrt{4x^2+4x-3}}=\frac{4x+2}{\sqrt{4x^2+4x-3}}$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется числителем:
$$4x+2\ge 0,\qquad x\ge -\frac12$$
С учётом области определения функция возрастает на $$\left[\frac12,+\infty\right)$$ и убывает на $$\left(-\infty,-\frac32\right]$$.
Минимум достигается в концах области определения:
$$y_{\min}=y\left(-\frac32\right)=y\left(\frac12\right)=0$$
График состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $$x=-\frac12$$, и проходит через точки $$\left(-\frac32,0\right)$$ и $$\left(\frac12,0\right)$$.
б) $$y=\sqrt{2+3x-2x^2}$$
Область определения:
$$2+3x-2x^2\ge 0$$
$$2x^2-3x-2\le 0$$
$$D=9+16=25$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
$$x_1=-\frac12,\qquad x_2=2$$
$$\left(x+\frac12\right)(x-2)\le 0$$
$$-\frac12\le x\le 2$$
Производная:
$$y'(x)=\frac{3-4x}{2\sqrt{2+3x-2x^2}}$$
$$3-4x\ge 0,\qquad x\le \frac34$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[-\frac12,\frac34\right]$$ и убывает на $$\left[\frac34,2\right]$$.
Максимум:
$$y_{\max}=y\left(\frac34\right)=\sqrt{2+\frac94-\frac98}=\sqrt{\frac{25}{8}}=\frac{5}{2\sqrt2}$$
Минимум:
$$y_{\min}=y\left(-\frac12\right)=y(2)=0$$
График — дуга, проходящая через точки $$\left(-\frac12,0\right)$$ и $$\left(2,0\right)$$, с вершиной в точке $$\left(\frac34,\frac{5}{2\sqrt2}\right)$$.
в) $$y=\sqrt{2x^2-x-3}$$
Область определения:
$$2x^2-x-3\ge 0$$
$$D=1+24=25$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}$$
$$x_1=-1,\qquad x_2=\frac32$$
$$(x+1)\left(x-\frac32\right)\ge 0$$
$$x\le -1,\qquad x\ge \frac32$$
Производная:
$$y'(x)=\frac{4x-1}{2\sqrt{2x^2-x-3}}$$
$$4x-1\ge 0,\qquad x\ge \frac14$$
С учётом области определения функция возрастает на $$\left[\frac32,+\infty\right)$$ и убывает на $$\left(-\infty,-1\right]$$.
Минимум:
$$y_{\min}=y(-1)=y\left(\frac32\right)=0$$
График состоит из двух ветвей, симметричных относительно прямой $$x=\frac14$$, и проходит через точки $$(-1,0)$$ и $$\left(\frac32,0\right)$$.
г) $$y=\sqrt{4-11x-3x^2}$$
Область определения:
$$4-11x-3x^2\ge 0$$
$$3x^2+11x-4\le 0$$
$$D=11^2+4\cdot 3\cdot 4=121+48=169$$
$$x_{1,2}=\frac{-11\pm 13}{6}$$
$$x_1=-4,\qquad x_2=\frac13$$
$$\left(x+4\right)\left(x-\frac13\right)\le 0$$
$$-4\le x\le \frac13$$
Производная:
$$y'(x)=\frac{-11-6x}{2\sqrt{4-11x-3x^2}}$$
$$-11-6x\ge 0,\qquad x\le -\frac{11}{6}$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[-4,-\frac{11}{6}\right]$$ и убывает на $$\left[-\frac{11}{6},\frac13\right]$$.
Максимум:
$$y_{\max}=y\left(-\frac{11}{6}\right)=\sqrt{4+\frac{121}{6}-\frac{121}{12}}=\sqrt{\frac{169}{12}}=\frac{13}{2\sqrt3}$$
Минимум:
$$y_{\min}=y(-4)=y\left(\frac13\right)=0$$
График — дуга, проходящая через точки $$(-4,0)$$ и $$\left(\frac13,0\right)$$, с вершиной в точке $$\left(-\frac{11}{6},\frac{13}{2\sqrt3}\right)$$.
