Упр.5.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Постройте и прочитайте график функции:
а) $$y=\begin{cases}2x^2, & x<1,\\ \sqrt[4]{x}+1, & x\geqslant1;\end{cases}$$
б) $$y=\begin{cases}\sqrt[5]{x}+1, & x<0,\\ 2x^2+1, & x\geqslant0;\end{cases}$$
в) $$y=\begin{cases}\frac{3}{x}, & x<0,\\ 2\sqrt[3]{x}, & x\geqslant0;\end{cases}$$
г) $$y=\begin{cases}2\cos x, & x<0,\\ 2-\sqrt[3]{x}, & x\geqslant0.\end{cases}$$
а) Для $$x<1$$ имеем $$y=2x^2$$ — ветвь параболы с вершиной в точке $$\left(0;0\right)$$. Для $$x\ge 1$$ имеем $$y=\sqrt[4]{x}+1$$ — возрастающая функция, причём $$y(1)=\sqrt[4]{1}+1=2$$. График состоит из двух частей, соединяющихся в точке $$\left(1;2\right)$$.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(f)=[0;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная; убывает на луче $$(-\infty;0]$$ и возрастает на луче $$[0;+\infty).$$
б) При $$x<0$$: $$y=\sqrt[5]{x+1}$$, при $$x\ge 0$$: $$y=2x^2+1$$. В точке $$x=0$$ получаем $$y=1$$, значит, графики соединяются в точке $$\left(0;1\right)$$.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная; возрастает на всей области определения.
в) При $$x<0$$: $$y=\dfrac{3}{x}$$ — ветвь гиперболы, при $$x\ge 0$$: $$y=2\sqrt[3]{x}$$ — возрастающая функция, проходящая через точку $$\left(0;0\right)$$.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
Функция ни чётная, ни нечётная; убывает на интервале $$(-\infty;0)$$ и возрастает на луче $$[0;+\infty).$$
Имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$.
г) При $$x<0$$: $$y=2\cos x$$, при $$x\ge 0$$: $$y=2-\sqrt[3]{x}$$. В точке $$x=0$$ обе части дают $$y=2$$, значит, график соединяется в точке $$\left(0;2\right)$$.
Область определения: $$D(f)=(-\infty;+\infty).$$
Множество значений: $$E(f)=(-\infty;2].$$
Функция ни чётная, ни нечётная; на промежутке $$x<0$$ имеет колебательный характер, а при $$x\ge 0$$ убывает.
Ответ
а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty).$$
б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=(-\infty;+\infty).$$
в) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=(-\infty;+\infty),\ x=0$$ — вертикальная асимптота.
г) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=(-\infty;2].$$
