Упр.5.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Решите неравенство:

а) $$\sqrt[4]{x+9}>x-5$$;
б) $$2\sqrt[5]{x}\geq 5-3x$$;
в) $$\sqrt{-x}\leq x+6$$;
г) $$\sqrt[3]{x-7}<3x+1$$.

Подробный ответ

а) Область определения: $$x+9\ge 0,$$ то есть $$x\ge -9.$$

Так как функция $$y=\sqrt[4]{x+9}$$ возрастает, а функция $$y=x-5$$ тоже возрастает, найдём точку их пересечения:

$$\sqrt[4]{x+9}=x-5.$$

Положим $$t=x-5,$$ тогда $$x=t+5$$ и

$$\sqrt[4]{t+14}=t.$$

Проверкой получаем $$t=2,$$ значит $$x=7.$$

С учётом графиков получаем:

$$x\in[-9;7).$$

б) Область определения: $$x\ge 0.$$

Решим уравнение пересечения:

$$2\sqrt[5]{x}=5-3x.$$

При $$x=1$$ имеем $$2\cdot 1=5-3,$$ то есть равенство выполняется. Сравнение графиков показывает, что при $$x\ge 1$$ левая часть не меньше правой.

Следовательно,

$$x\in[1;+\infty).$$

в) Область определения: $$-x\ge 0,$$ то есть $$x\le 0.$$

Решим уравнение пересечения:

$$\sqrt{-x}=x+6.$$

Возведём в квадрат:

$$-x=(x+6)^2,$$

$$x^2+13x+36=0,$$

$$\left(x+4\right)\left(x+9\right)=0.$$

Отсюда $$x=-4$$ или $$x=-9.$$

Проверка показывает, что неравенство выполняется на промежутке

$$x\in[-4;0].$$

г) Область определения: $$x-7\ge 0,$$ то есть $$x\ge 7.$$

Решим уравнение пересечения:

$$\sqrt[3]{x-7}=3x+1.$$

При $$x=8$$ получаем $$\sqrt[3]{1}=25,$$ равенство не выполняется, поэтому ищем по графикам точку пересечения. Она находится при $$x=-1,$$ но это значение не входит в область определения. Значит, на всей области определения выполняется

$$\sqrt[3]{x-7}<3x+1.$$

Итак,

$$x\in(-1;+\infty).$$