Упр.5.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

5.26. Найдите, если это возможно, наименьшее и (или) наибольшее целое число, принадлежащее области значений функции:
а) $$y=\sqrt[4]{16+4x-4x^2}$$;
в) $$y=\sqrt[6]{3x^2-6x-4}$$;
б) $$y=\sqrt[5]{x^2-4x+35}$$;
г) $$y=\sqrt[3]{1-x^2+6x}$$.

Подробный ответ

а) $$y=\sqrt[4]{16+4x-4x^2}.$$

Подкоренное выражение:

$$16+4x-4x^2=17-4\left(x-\frac12\right)^2.$$

Так как $$\left(x-\frac12\right)^2\ge 0,$$ то

$$16+4x-4x^2\le 17.$$

Наибольшее значение функции:

$$y_{\max}=\sqrt[4]{17}.$$

Так как $$0\le y\le \sqrt[4]{17},$$ то наименьшее целое число из области значений равно $$0,$$ а наибольшее целое число, не превосходящее $$\sqrt[4]{17},$$ равно $$2.$$

б) $$y=\sqrt[5]{x^2-4x+35}.$$

Подкоренное выражение:

$$x^2-4x+35=(x-2)^2+31\ge 31.$$

Значит,

$$y\ge \sqrt[5]{31}.$$

Так как $$\sqrt[5]{31}<2<\sqrt[5]{32},$$ то наименьшее целое число из области значений равно $$2.$$ Наибольшего целого числа нет, так как функция не ограничена сверху.

в) $$y=\sqrt[6]{3x^2-6x-4}.$$

Подкоренное выражение:

$$3x^2-6x-4=3(x-1)^2-7\ge -7.$$

Но для существования функции нужно

$$3x^2-6x-4\ge 0.$$

Минимум подкоренного выражения на области определения равен $$0,$$ значит

$$y\ge 0.$$

Наименьшее целое число из области значений: $$0.$$ Наибольшего целого числа нет.

г) $$y=\sqrt[3]{1-x^2+6x}.$$

Подкоренное выражение:

$$1-x^2+6x=10-(x-3)^2\le 10.$$

Так как кубический корень определён при любых значениях подкоренного выражения, то