Упр.5.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\sqrt{35+2x-x^2}$$; в) $$y=\sqrt[4]{12-4x-x^2}$$; б) $$y=\sqrt[6]{2x^2-4x-1}$$; г) $$y=\sqrt[8]{x^2+2x+3}$$.

а) $$y=\sqrt{35+2x-x^2}.$$

Найдём наибольшее значение подкоренного выражения:

$$35+2x-x^2=36-(x-1)^2\le 36.$$

Тогда

$$0\le y\le \sqrt{36}=6.$$

Следовательно, $$E(y)=[0;6].$$

б) $$y=\sqrt[6]{2x^2-4x-1}.$$

Так как корень шестой степени определён только при неотрицательном подкоренном выражении, то

$$2x^2-4x-1=2(x-1)^2-3.$$

Минимум подкоренного выражения равен $$-3$$, но при этом для существования функции нужно

$$2x^2-4x-1\ge 0.$$

Значит, $$y\ge 0,$$ и при больших значениях $$x$$ функция не ограничена сверху. Поэтому

$$E(y)=[0;+\infty).$$

в) $$y=\sqrt[4]{12-4x-x^2}.$$

Преобразуем подкоренное выражение:

$$12-4x-x^2=16-(x+2)^2\le 16.$$

Тогда

$$0\le y\le \sqrt[4]{16}=2.$$

Следовательно, $$E(y)=[0;2].$$

г) $$y=\sqrt[8]{x^2+2x+3}.$$

Имеем

$$x^2+2x+3=(x+1)^2+2\ge 2.$$

Значит,

$$y\ge \sqrt[8]{2}.$$

При больших $$|x|$$ подкоренное выражение неограниченно возрастает, поэтому сверху функция не ограничена. Следовательно,

$$E(y)=[\sqrt[8]{2};+\infty).$$

Ответ

а) $$[0;6]$$; б) $$[0;+\infty)$$; в) $$[0;2]$$; г) $$[\sqrt[8]{2};+\infty).$$