Упр.5.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите наименьшее значение функции: а) $$y=\sqrt[4]{x^2-6x+8}$$; б) $$y=\sqrt[6]{x^2+6x+13}$$.

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt[4]{x^2-6x+8}.$$

Подкоренное выражение:

$$x^2-6x+8=(x-3)^2-1.$$

Так как $$\sqrt[4]{\,\cdot\,}$$ — возрастающая функция, то наименьшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении подкоренного выражения. Минимум квадратичного выражения $$x^2-6x+8$$ равен $$-1$$ при $$x=3$$, но подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^2-6x+8\ge 0.$$

При $$x=2$$ или $$x=4$$ получаем $$x^2-6x+8=0$$, значит

$$y_{\min}=\sqrt[4]{0}=0.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt[6]{x^2+6x+13}.$$

Подкоренное выражение:

$$x^2+6x+13=(x+3)^2+4.$$

Минимум выражения $$x^2+6x+13$$ равен $$4$$ при $$x=-3$$. Тогда

$$y_{\min}=\sqrt[6]{4}=\sqrt[3]{2}.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$\sqrt[3]{2}$$.