Упр.5.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=\sqrt[5]{x}$$:
а) на отрезке $$[-1;1]$$;
в) на отрезке $$[-32;32]$$;
б) на луче $$(-\infty;1]$$;
г) на луче $$[2;+\infty)$$.
Функция $$y=\sqrt[5]{x}$$ возрастает на всей области определения, поэтому на каждом отрезке или луче наименьшее и наибольшее значения достигаются на концах промежутка, если они существуют.
На отрезке $$[-1;1]$$:
$$y(-1)=\sqrt[5]{-1}=-1,$$
$$y(1)=\sqrt[5]{1}=1.$$
Наименьшее значение: $$-1$$, наибольшее значение: $$1$$.
На луче $$(-\infty;1]$$:
$$y(1)=\sqrt[5]{1}=1.$$
При $$x\to -\infty$$ значение $$y=\sqrt[5]{x}\to -\infty$$, поэтому наименьшего значения нет.
Наибольшее значение: $$1$$, наименьшего значения нет.
На отрезке $$[-32;32]$$:
$$y(-32)=\sqrt[5]{-32}=-2,$$
$$y(32)=\sqrt[5]{32}=2.$$
Наименьшее значение: $$-2$$, наибольшее значение: $$2$$.
На луче $$[2;+\infty)$$:
$$y(2)=\sqrt[5]{2}.$$
При $$x\to +\infty$$ значение $$y=\sqrt[5]{x}\to +\infty$$, поэтому наибольшего значения нет.
Наименьшее значение: $$\sqrt[5]{2}$$, наибольшего значения нет.
Ответ: а) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\max}=1,$$ наименьшего значения нет; в) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=2$$; г) $$y_{\min}=\sqrt[5]{2},$$ наибольшего значения нет.
