Упр.5.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=\sqrt[4]{x}$$: а) на отрезке $$[0;1]$$; в) на отрезке $$[5;16]$$; б) на полуинтервале $$[1;3)$$; г) на луче $$[16;+\infty)$$.
Функция $$y=\sqrt[4]{x}$$ на своей области определения возрастает, поэтому на каждом промежутке наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой, если она входит в промежуток.
На отрезке $$[0;1]$$:
$$y(0)=\sqrt[4]{0}=0,$$
$$y(1)=\sqrt[4]{1}=1.$$
Наименьшее значение: $$0$$, наибольшее значение: $$1$$.
На полуинтервале $$[1;3)$$:
$$y(1)=\sqrt[4]{1}=1.$$
При $$x \to 3-$$ значение функции стремится к $$\sqrt[4]{3}$$, но точка $$3$$ не входит в промежуток, поэтому наибольшего значения нет.
Наименьшее значение: $$1$$, наибольшего значения нет.
На отрезке $$[5;16]$$:
$$y(5)=\sqrt[4]{5},$$
$$y(16)=\sqrt[4]{16}=2.$$
Наименьшее значение: $$\sqrt[4]{5}$$, наибольшее значение: $$2$$.
На луче $$[16;+\infty)$$:
$$y(16)=\sqrt[4]{16}=2.$$
При $$x \to +\infty$$ функция не ограничена сверху, поэтому наибольшего значения нет.
Наименьшее значение: $$2$$, наибольшего значения нет.
Ответ: а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}$$ не существует; в) $$y_{\min}=\sqrt[4]{5},\ y_{\max}=2$$; г) $$y_{\min}=2,\ y_{\max}$$ не существует.
