Упр.5.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдите область определения функции:
а) $$y=\sqrt[6]{x^3-6x^2+11x-6}+\sqrt[6]{6x^3+17x^2+6x-8};$$
б) $$y=\sqrt[4]{\frac{2x^3-3x^2-3x+2}{x^2-9x^2+20x-12}};$$
в) $$y=\sqrt[6]{2x^3-11x^2+18x-9}-\sqrt[4]{\frac{1}{4x^3-11x^2+6{,}5x-1}};$$
г) $$y=\sqrt[8]{\frac{6x^3+11x^2-19x+6}{x^3-8{,}25x^2+14x-3}}.$$
Область определения функции находим из условий существования корней и ненулевого знаменателя.
а)
Для корней чётной степени подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
$$x^3-6x^2+11x-6\ge 0,$$
$$6x^3+17x^2+6x-8\ge 0.$$
Разложим на множители:
$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3),$$
$$6x^3+17x^2+6x-8=(x+2)(6x^2+5x-4)=(x+2)\left(x+\frac{4}{3}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right).$$
Тогда
$$(x-1)(x-2)(x-3)\ge 0,$$
откуда
$$x\in[1;2]\cup[3;+\infty).$$
Второе неравенство даёт
$$x\in[-2;-\frac{4}{3}]\cup\left[\frac{1}{2};+\infty\right),$$
и пересечение условий равно
$$D(y)=[1;2]\cup[3;+\infty).$$
б)
Нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, а знаменатель дроби — ненулевым:
$$\frac{2x^3-3x^2-3x+2}{x^3-9x^2+20x-12}\ge 0,\qquad x^3-9x^2+20x-12\ne 0.$$
Разложим числитель и знаменатель:
$$2x^3-3x^2-3x+2=(x+1)(2x^2-5x+2)=(x+1)(x-\frac12)(x-2),$$
$$x^3-9x^2+20x-12=(x-1)(x^2-8x+12)=(x-1)(x-2)(x-6).$$
Получаем
$$\frac{(x+1)(x-\frac12)(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-6)}\ge 0,$$
при этом $$x\ne 1,\;2,\;6.$$
После сокращения общего множителя $$x-2$$ (с учётом того, что $$x=2$$ всё равно не входит в область определения) имеем
$$\frac{(x+1)(x-\frac12)}{(x-1)(x-6)}\ge 0.$$
По методу интервалов:
$$D(y)=(-\infty;-1]\cup\left[\frac12;1\right)\cup(6;+\infty).$$
в)
Для первого корня:
$$2x^3-11x^2+18x-9\ge 0.$$
Разложим:
$$2x^3-11x^2+18x-9=(x-1)(2x^2-9x+9)=(x-1)(2x-3)(x-3).$$
Тогда
$$x\in[1;\frac32]\cup[3;+\infty).$$
Для второго корня подкоренное выражение в знаменателе должно быть положительным:
$$4x^3-11x^2+6{,}5x-1>0.$$
Разложим:
$$4x^3-11x^2+6{,}5x-1=(x-2)(4x^2-3x+\frac12)=(x-2)(4x-1)(2x-1).$$
Отсюда
$$x\in\left(\frac14;\frac12\right)\cup[2;+\infty).$$
Пересекаем условия:
$$D(y)=[3;+\infty).$$
г)
Для корня чётной степени требуется
$$\frac{6x^3+11x^2-19x+6}{x^3-8{,}25x^2+14x-3}\ge 0,\qquad x^3-8{,}25x^2+14x-3\ne 0.$$
Разложим на множители:
$$6x^3+11x^2-19x+6=(x+3)(6x^2-7x+2)=(x+3)(2x-1)(3x-2),$$
$$x^3-8{,}25x^2+14x-3=(x-2)(x-6)\left(x-\frac14\right).$$
Тогда
$$\frac{(x+3)(2x-1)(3x-2)}{(x-2)(x-6)\left(x-\frac14\right)}\ge 0.$$
По методу интервалов получаем
$$D(y)=(-\infty;-3]\cup\left[\frac14;\frac12\right]\cup\left[\frac23;2\right)\cup(6;+\infty).$$
Ответ
а) $$[1;2]\cup[3;+\infty)$$; б) $$(-\infty;-1]\cup\left[\frac12;1\right)\cup(6;+\infty)$$; в) $$[3;+\infty)$$; г) $$(-\infty;-3]\cup\left[\frac14;\frac12\right]\cup\left[\frac23;2\right)\cup(6;+\infty).$$
