Упр.5.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$y=\sqrt[4]{\frac{10x^3-21x^2+4}{x^2-4x-21}}$$;
б) $$y=\sqrt[6]{4x^2+11{,}5x-1{,}5}-\sqrt{x^3-x^2-10x-8}$$;
в) $$y=\sqrt[8]{\frac{x^3-12x+16}{x^2-2x-15}}$$;
г) $$y=\frac{\sqrt[4]{-x^3+5x^2-8x+4}}{\sqrt{x^2-9|x|+18}}$$.
а) Для существования корня четвёртой степени нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным и знаменатель не обращался в ноль:
$$\frac{10x^3-21x^2+4}{x^2-4x-21}\ge 0,\qquad x^2-4x-21\ne 0.$$
Разложим на множители:
$$10x^3-21x^2+4=(x-2)(10x^2-x-2)=(x-2)(5x+2)(2x-1),$$
$$x^2-4x-21=(x-7)(x+3).$$
Тогда
$$\frac{(x-2)(5x+2)(2x-1)}{(x-7)(x+3)}\ge 0.$$
По знакам на промежутках получаем:
$$x\in(-3;-\tfrac25]\cup[\tfrac12;2]\cup(7;+\infty).$$
б) Для корня шестой степени и корня квадратного нужно:
$$4x^2+11{,}5x-1{,}5\ge 0,\qquad x^3-x^2-10x-8\ge 0.$$
Первое неравенство:
$$4x^2+11{,}5x-1{,}5=0 \;\Longleftrightarrow\; 8x^2+23x-3=0,$$
$$D=23^2+4\cdot 8\cdot 3=625,$$
$$x_1=-3,\qquad x_2=\frac18.$$
Значит,
$$4x^2+11{,}5x-1{,}5\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\le -3 \text{ или } x\ge \frac18.$$
Второе неравенство:
$$x^3-x^2-10x-8=(x+1)(x^2-2x-8)=(x+1)(x+2)(x-4).$$
Тогда
$$(x+1)(x+2)(x-4)\ge 0 \;\Longleftrightarrow\; x\in[-2;-1]\cup[4;+\infty).$$
Пересечение условий даёт:
$$D(y)=[4;+\infty).$$
в) Для корня восьмой степени нужно:
$$\frac{x^3-12x+16}{x^2-2x-15}\ge 0,\qquad x^2-2x-15\ne 0.$$
Разложим на множители:
$$x^3-12x+16=(x-2)^2(x+4),$$
$$x^2-2x-15=(x-5)(x+3).$$
Получаем
$$\frac{(x-2)^2(x+4)}{(x-5)(x+3)}\ge 0.$$
Так как $$(x-2)^2\ge 0,$$ то остаётся учесть знаки множителей. Отсюда
$$x\in[-4;-3)\cup\{2\}\cup[5;+\infty).$$
г) Здесь нужно, чтобы числитель под корнем четвёртой степени был неотрицателен, а знаменатель — положителен:
$$-x^3+5x^2-8x+4\ge 0,\qquad x^2-9|x|+18>0.$$
Первое неравенство:
$$-x^3+5x^2-8x+4=(x-1)(-x^2+4x-4)=-(x-1)(x-2)^2\ge 0,$$
откуда
$$x\le 1 \text{ или } x=2.$$
Второе неравенство рассмотрим по случаям.
Если $$x\ge 0,$$ то
$$x^2-9x+18>0 \;\Longleftrightarrow\; (x-3)(x-6)>0,$$
то есть $$x<3$$ или $$x>6.$$
Если $$x<0,$$ то
$$x^2+9x+18>0 \;\Longleftrightarrow\; (x+3)(x+6)>0,$$
то есть $$x<-6$$ или $$x>-3.$$
С учётом условия для числителя получаем:
$$D(y)=(-\infty;-6)\cup(-3;1]\cup\{2\}.$$
Ответ
а) $$(-3;-\tfrac25]\cup[\tfrac12;2]\cup(7;+\infty)$$
б) $$[4;+\infty)$$
в) $$[-4;-3)\cup\{2\}\cup[5;+\infty)$$
г) $$(-\infty;-6)\cup(-3;1]\cup\{2\}$$
