Упр.5.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\sqrt[4]{\frac{2x-5}{4x+8}}+\frac{\sqrt{x^2+2x-3}}{x-3}$$;

б) $$y=\frac{\sqrt{x^2-5x}}{2x+2}-\sqrt{\frac{2x+2}{x-4}}$$.

Рассмотрим область определения каждой функции.

а)

$$y=\sqrt[4]{\frac{2x-5}{4x+8}}+\frac{\sqrt{x^2+2x-3}}{x-3}$$

Для существования функции нужно, чтобы выполнялись условия:

$$\frac{2x-5}{4x+8}\ge 0,\qquad x^2+2x-3\ge 0,\qquad x-3\ne 0.$$

Решим их по отдельности.

$$\frac{2x-5}{4x+8}\ge 0 \;\Longrightarrow\; \frac{2x-5}{x+2}\ge 0.$$

Критические точки: $$x=-2,\; x=\frac52.$$ Тогда

$$x\in(-\infty,-2)\cup\left[\frac52,+\infty\right).$$

Далее:

$$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)\ge 0,$$

откуда

$$x\in(-\infty,-3]\cup[1,+\infty).$$

И, кроме того, $$x\ne 3.$$

Пересекаем все условия:

$$\left((-\infty,-2)\cup\left[\frac52,+\infty\right)\right)\cap\left((-\infty,-3]\cup[1,+\infty)\right)\setminus\{3\}$$

$$=(-\infty,-3]\cup\left[\frac52,3\right)\cup(3,+\infty).$$

б)

$$y=\frac{\sqrt{x^2-5x}}{2x+2}-\sqrt{\frac{2x+2}{x-4}}$$

Найдём условия существования:

$$x^2-5x\ge 0,\qquad 2x+2\ne 0,\qquad \frac{2x+2}{x-4}\ge 0.$$

Первое неравенство:

$$x(x-5)\ge 0 \;\Longrightarrow\; x\in(-\infty,0]\cup[5,+\infty).$$

Второе условие:

$$2x+2\ne 0 \;\Longrightarrow\; x\ne -1.$$

Третье неравенство:

$$\frac{2x+2}{x-4}=\frac{x+1}{x-4}\ge 0 \;\Longrightarrow\; x\in(-\infty,-1]\cup(4,+\infty).$$

Пересекаем все условия:

$$\left((-\infty,0]\cup[5,+\infty)\right)\cap\left((-\infty,-1]\cup(4,+\infty)\right)=(-\infty,-1)\cup[5,+\infty).$$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty,-3]\cup\left[\frac52,3\right)\cup(3,+\infty).$$

б) $$D(y)=(-\infty,-1)\cup[5,+\infty).$$