Упр.5.15 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\sqrt{25-x^2}+\sqrt[8]{x^2-1}$$;

б) $$y=\sqrt[6]{x^2-6x+5}-\sqrt{x^2-3x}$$;

в) $$y=\sqrt[12]{x^2-9}-\sqrt[10]{16-x^2}$$;

г) $$y=\sqrt[12]{15-2x-x^2}+\sqrt{x^2+6x+8}$$.

Найдём область определения каждой функции, учитывая, что подкоренные выражения должны быть неотрицательны.

1. $$y=\sqrt{25-x^2}+\sqrt[8]{x^2-1}$$

   Требуется:

   $$25-x^2\ge 0,$$

   $$x^2-1\ge 0.$$

   Из первого неравенства получаем:

   $$-5\le x\le 5.$$

   Из второго:

   $$x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

   Пересечение этих условий:

   $$D(y)=[-5;-1]\cup[1;5].$$

2. $$y=\sqrt[6]{x^2-6x+5}-\sqrt{x^2-3x}$$

   Требуется:

   $$x^2-6x+5\ge 0,$$

   $$x^2-3x\ge 0.$$

   Решим первое неравенство:

   $$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)\ge 0,$$

   откуда

   $$x\le 1 \text{ или } x\ge 5.$$

   Второе неравенство:

   $$x^2-3x=x(x-3)\ge 0,$$

   откуда

   $$x\le 0 \text{ или } x\ge 3.$$

   Пересечение множеств:

   $$D(y)=(-\infty;0]\cup[5;+\infty).$$

3. $$y=\sqrt[12]{x^2-9}-\sqrt[10]{16-x^2}$$

   Требуется:

   $$x^2-9\ge 0,$$

   $$16-x^2\ge 0.$$

   Из первого неравенства:

   $$x\le -3 \text{ или } x\ge 3.$$

   Из второго:

   $$-4\le x\le 4.$$

   Пересечение:

   $$D(y)=[-4;-3]\cup[3;4].$$

4. $$y=\sqrt[12]{15-2x-x^2}+\sqrt{x^2+6x+8}$$

   Требуется:

   $$15-2x-x^2\ge 0,$$

   $$x^2+6x+8\ge 0.$$

   Первое неравенство:

   $$15-2x-x^2\ge 0 \iff x^2+2x-15\le 0 \iff (x+5)(x-3)\le 0,$$

   значит,

   $$-5\le x\le 3.$$

   Второе неравенство:

   $$x^2+6x+8=(x+4)(x+2)\ge 0,$$

   откуда

   $$x\le -4 \text{ или } x\ge -2.$$

   Пересечение:

   $$D(y)=[-5;-4]\cup[-2;3].$$

Ответ:

а) $$[-5;-1]\cup[1;5]$$; б) $$(-\infty;0]\cup[5;+\infty)$$; в) $$[-4;-3]\cup[3;4]$$; г) $$[-5;-4]\cup[-2;3]$$.