Упр.5.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\sqrt[4]{\frac{x-8}{3x+5}}$$;

б) $$y=\sqrt[5]{\frac{1+9x}{4+3x}}$$;

в) $$y=\sqrt[3]{\frac{12-5x}{7-2x}}$$;

г) $$y=\sqrt[6]{\frac{3-7x}{2x+9}}$$.

Для корня нечётной степени подкоренное выражение может быть любым числом, но знаменатель дроби не должен обращаться в нуль. Для корня чётной степени нужно дополнительно требовать неотрицательность подкоренного выражения.

1. $$y=\sqrt[4]{\frac{x-8}{3x+5}}$$

   Нужно, чтобы

   $$\frac{x-8}{3x+5}\ge 0,\qquad 3x+5\ne 0.$$

   Критические точки: $$x=-\frac53,\; x=8.$$

   Знак дроби неотрицателен при

   $$x\in\left(-\infty;-\frac53\right)\cup[8;+\infty).$$

2. $$y=\sqrt[5]{\frac{1+9x}{4+3x}}$$

   Так как корень пятой степени нечётный, достаточно, чтобы

   $$4+3x\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x\ne -\frac43,$$

   значит,

   $$x\in\left(-\infty;-\frac43\right)\cup\left(-\frac43;+\infty\right).$$

3. $$y=\sqrt[3]{\frac{12-5x}{7-2x}}$$

   Для корня третьей степени нужно лишь, чтобы знаменатель не был равен нулю:

   $$7-2x\ne 0,\qquad x\ne \frac72.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(-\infty;\frac72\right)\cup\left(\frac72;+\infty\right).$$

4. $$y=\sqrt[6]{\frac{3-7x}{2x+9}}$$

   Так как корень шестой степени чётный, требуется

   $$\frac{3-7x}{2x+9}\ge 0,\qquad 2x+9\ne 0.$$

   Критические точки: $$x=-\frac92,\; x=\frac37.$$

   Получаем

   $$x\in\left(-\frac92;\frac37\right].$$

Ответ: а) $$\left(-\infty;-\frac53\right)\cup[8;+\infty)$$; б) $$\left(-\infty;-\frac43\right)\cup\left(-\frac43;+\infty\right)$$; в) $$\left(-\infty;\frac72\right)\cup\left(\frac72;+\infty\right)$$; г) $$\left(-\frac92;\frac37\right].$$