Упр.5.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите область определения функции: а) $$y=\sqrt{5x+8}+\sqrt[4]{2x-4}$$; в) $$y=\sqrt[10]{3x-12}-\sqrt[4]{2x-1}$$; б) $$y=\sqrt[6]{2x+1}-\sqrt[8]{5-10x}$$; г) $$y=\sqrt{8-16x}+\sqrt[12]{10x+20}$$.

Для существования функции подкоренные выражения должны быть неотрицательны.

а)

$$\begin{aligned} 5x+8&\ge 0,\\ 2x-4&\ge 0. \end{aligned}$$

Решаем неравенства:

$$x\ge -\frac{8}{5}, \qquad x\ge 2.$$

Берём пересечение:

$$D(y)=[2;+\infty).$$

б)

$$\begin{aligned} 2x+1&\ge 0,\\ 5-10x&\ge 0. \end{aligned}$$

Тогда

$$x\ge -\frac12, \qquad x\le \frac12.$$

Следовательно,

$$D(y)=\left[-\frac12;\frac12\right].$$

в)

$$\begin{aligned} 3x-12&\ge 0,\\ 2x-1&\ge 0. \end{aligned}$$

Получаем

$$x\ge 4, \qquad x\ge \frac12.$$

Пересечение этих условий:

$$D(y)=[4;+\infty).$$

г)

$$\begin{aligned} 8-16x&\ge 0,\\ 10x+20&\ge 0. \end{aligned}$$

Тогда

$$x\le \frac12, \qquad x\ge -2.$$

Следовательно,

$$D(y)=[-2;\tfrac12].$$

Ответ

а) $$[2;+\infty)$$; б) $$\left[-\frac12;\frac12\right]$$; в) $$[4;+\infty)$$; г) $$[-2;\frac12]$$.