Упр.4.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Верно ли равенство: а) $$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$$; в) $$\sqrt{7-4\sqrt{3}}=\sqrt{3}-2$$; б) $$\sqrt{14-6\sqrt{5}}=\sqrt{5}-3$$; г) $$\sqrt{15-6\sqrt{6}}=3-\sqrt{6}$$?

Проверим каждое равенство, учитывая, что левая часть — квадратный корень, а значит, она неотрицательна.

1. $$\sqrt{7-4\sqrt3}=2-\sqrt3$$

   Так как $$2>\sqrt3,$$ то $$2-\sqrt3>0.$$ Возведём правую часть в квадрат:

   $$\begin{aligned} (2-\sqrt3)^2&=4-4\sqrt3+3\\ &=7-4\sqrt3. \end{aligned}$$

   Значит, равенство верно.

2. $$\sqrt{14-6\sqrt5}=\sqrt5-3$$

   Так как $$\sqrt5<3,$$ то $$\sqrt5-3<0.$$ Но левая часть неотрицательна, значит, равенство неверно.

3. $$\sqrt{7-4\sqrt3}=\sqrt3-2$$

   Так как $$\sqrt3<2,$$ то $$\sqrt3-2<0.$$ Левая часть неотрицательна, следовательно, равенство неверно.

4. $$\sqrt{15-6\sqrt6}=3-\sqrt6$$

   Так как $$3>\sqrt6,$$ то $$3-\sqrt6>0.$$ Возведём правую часть в квадрат:

   $$\begin{aligned} (3-\sqrt6)^2&=9-6\sqrt6+6\\ &=15-6\sqrt6. \end{aligned}$$

   Значит, равенство верно.

Ответ

а) да; б) нет; в) нет; г) да.