Упр.4.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите ошибку в рассуждениях: а) $$2=\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=\sqrt[4]{(-2)^4}=-2$$; б) $$5=\sqrt[6]{15625}=\sqrt[6]{5^6}=\sqrt[6]{(-5)^6}=-5$$.

Ошибка в том, что для чётного показателя корня значение корня не может быть отрицательным: арифметический корень чётной степени всегда неотрицателен.

Ход решения

а) $$\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2,$$

но

$$\sqrt[4]{(-2)^4}=\sqrt[4]{16}=2,$$

а не $$-2.$$

Следовательно, запись $$\sqrt[4]{(-2)^4}=-2$$ неверна.

б) $$\sqrt[6]{15625}=\sqrt[6]{5^6}=5,$$

но

$$\sqrt[6]{(-5)^6}=\sqrt[6]{15625}=5,$$

а не $$-5.$$

Следовательно, запись $$\sqrt[6]{(-5)^6}=-5$$ неверна.

Ответ

В обоих рассуждениях ошибка в последнем переходе: при чётном показателе корня $$\sqrt[n]{a^n}=|a|,$$ а не $$a.$$ Поэтому $$\sqrt[4]{(-2)^4}=2,$$ $$\sqrt[6]{(-5)^6}=5.$$