Упр.4.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Подберите показатель корня $$n$$ так, чтобы выполнялось равенство:

• а) $$\sqrt[n]{117\,649}=7$$;
• в) $$\sqrt[n]{46\,656}=6$$;
• б) $$\sqrt[n]{-\frac{12\,209}{243}}=-1\frac{2}{3}$$;
• г) $$\sqrt[n]{3\frac{13}{81}}=1\frac{1}{3}$$.

Представим числа под корнем в виде степеней с одинаковым основанием.

1. $$117649=7^6,$$ значит

   $$\sqrt[n]{117649}=7 \;\Rightarrow\; 7^{6/n}=7^1,$$

   откуда $$\frac{6}{n}=1,$$ следовательно, $$n=6.$$

2. $$-12\frac{209}{243}=-\frac{3125}{243}=-\frac{5^5}{3^5}=\left(-\frac{5}{3}\right)^5.$$

   Тогда

   $$\sqrt[n]{-12\frac{209}{243}}=-1\frac{2}{3}=-\frac{5}{3},$$

   значит

   $$\left(-\frac{5}{3}\right)^{5/n}=\left(-\frac{5}{3}\right)^1,$$

   откуда $$\frac{5}{n}=1,$$ следовательно, $$n=5.$$

3. $$46656=6^6,$$ значит

   $$\sqrt[n]{46656}=6 \;\Rightarrow\; 6^{6/n}=6^1,$$

   откуда $$\frac{6}{n}=1,$$ следовательно, $$n=6.$$

4. $$3\frac{13}{81}=\frac{256}{81}=\frac{4^4}{3^4}=\left(\frac{4}{3}\right)^4.$$

   Тогда

   $$\sqrt[n]{3\frac{13}{81}}=1\frac{1}{3}=\frac{4}{3},$$

   значит

   $$\left(\frac{4}{3}\right)^{4/n}=\left(\frac{4}{3}\right)^1,$$

   откуда $$\frac{4}{n}=1,$$ следовательно, $$n=4.$$

Ответ: а) $$6$$; б) $$5$$; в) $$6$$; г) $$4$$.