Упр.34.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим уравнение $$ax^2+4x-a+5=0.$$

Если $$a=0,$$ получаем линейное уравнение $$4x+5=0,$$ у которого один корень.

Если $$a\ne 0,$$ это квадратное уравнение. Его дискриминант:

$$D=4^2-4\cdot a\cdot(5-a)=16-20a+4a^2=4(a^2-5a+4)=4(a-1)(a-4).$$

а) Уравнение имеет два различных корня

Для этого нужно $$D>0.$$ Тогда

$$4(a-1)(a-4)>0 \;\Longleftrightarrow\; (a-1)(a-4)>0.$$

Отсюда

$$a\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty).$$

Но при $$a=0$$ уравнение тоже имеет два различных корня? Нет, при $$a=0$$ оно линейное, значит один корень. Поэтому $$a=0$$ исключаем.

Итак,

$$a\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty).$$

б) Уравнение имеет ровно один корень

Это возможно в двух случаях:

1. $$D=0,$$ тогда $$4(a-1)(a-4)=0,$$ откуда $$a=1$$ или $$a=4.$$
2. $$a=0,$$ тогда уравнение становится линейным и имеет один корень.

Следовательно,

$$a\in\{0;1;4\}.$$

в) Уравнение не имеет корней

Для квадратного уравнения нужно $$D<0.$$ Тогда

$$4(a-1)(a-4)<0 \;\Longleftrightarrow\; (a-1)(a-4)<0,$$

откуда

$$1<a<4.$$

При $$a=0$$ корень есть, поэтому этот случай не подходит.

Итак,

$$a\in(1;4).$$

Ответ

а) $$a\in(-\infty;0)\cup(0;1)\cup(4;+\infty)$$

б) $$a\in\{0;1;4\}$$

в) $$a\in(1;4)$$