Упр.34.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Преобразуем неравенство:

$$b^2x-bx \ge b^2+b-2$$

$$x(b^2-b) \ge b^2-b+2b-2$$

$$xb(b-1) \ge (b+2)(b-1)$$

Рассмотрим случаи.

• Если $$b=0$$, то получаем $$0x \ge -2$$, значит $$x \in \mathbb{R}$$.
• Если $$b=1$$, то получаем $$0x \ge 0$$, значит $$x \in \mathbb{R}$$.
• Если $$b>1$$, то $$b(b-1)>0$$, поэтому
  $$x \ge \frac{b+2}{b}.$$
• Если $$0<b<1$$, то $$b(b-1)<0$$, поэтому
  $$x \le \frac{b+2}{b}.$$
• Если $$b<0$$, то $$b(b-1)>0$$, поэтому
  $$x \ge \frac{b+2}{b}.$$

Итак,

$$x \ge \frac{b+2}{b}, \text{ если } b<0 \text{ или } b>1;$$

$$x \le \frac{b+2}{b}, \text{ если } 0<b<1;$$

$$x \in \mathbb{R}, \text{ если } b=0 \text{ или } b=1.$$

б) Преобразуем неравенство:

$$\frac{x}{a}+x \le a+1$$

$$x\left(\frac{1}{a}+1\right)\le a+1$$

$$x\cdot \frac{a+1}{a}\le a+1$$

Рассмотрим случаи.

• Если $$a=-1$$, то получаем $$0x\le 0$$, значит $$x\in\mathbb{R}$$.
• Если $$a=0$$, то выражение не имеет смысла, поэтому решений нет: $$x\notin\varnothing$$.
• Если $$a>0$$, то $$\frac{a+1}{a}>0$$, значит
  $$x\le a.$$
• Если $$-1<a<0$$, то $$\frac{a+1}{a}<0$$, значит
  $$x\ge a.$$
• Если $$a<-1$$, то $$\frac{a+1}{a}>0$$, значит
  $$x\le a.$$

Следовательно,

$$x\le a, \text{ если } a<-1 \text{ или } a>0;$$

$$x\ge a, \text{ если } -1<a<0;$$

$$x\in\mathbb{R}, \text{ если } a=-1;$$

$$x\notin\varnothing, \text{ если } a=0.$$