Упр.34.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$mx-x+1\ge m^2$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$mx-x+1-m^2\ge 0$$

$$x(m-1)-(m-1)(m+1)\ge 0$$

$$(m-1)\bigl(x-(m+1)\bigr)\ge 0$$

Рассмотрим знак множителя $$m-1$$.

• Если $$m>1$$, то $$m-1>0$$, значит $$x-(m+1)\ge 0$$, то есть $$x\ge m+1$$.
• Если $$m<1$$, то $$m-1<0$$, поэтому знак неравенства меняется: $$x-(m+1)\le 0$$, то есть $$x\le m+1$$.
• Если $$m=1$$, получаем $$0\ge 0$$, верно при любом $$x$$, значит $$x\in \mathbb{R}$$.

б) $$b^2x-x+1>b$$

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель:

$$b^2x-x+1-b>0$$

$$x(b^2-1)-(b-1)>0$$

$$x(b-1)(b+1)-(b-1)>0$$

$$(b-1)\bigl(x(b+1)-1\bigr)>0$$

Рассмотрим знак множителя $$b-1$$.

• Если $$b>1$$, то $$b-1>0$$, значит $$x(b+1)-1>0$$, откуда $$x>\dfrac{1}{b+1}$$.
• Если $$-1<b<1$$, то $$b-1<0$$, поэтому $$x(b+1)-1<0$$, то есть $$x<\dfrac{1}{b+1}$$.
• Если $$b=-1$$, то исходное неравенство превращается в $$0>-2$$, что верно при любом $$x$$, значит $$x\in \mathbb{R}$$.
• Если $$b=1$$, получаем $$0>0$$, что неверно ни при каком $$x$$, значит решений нет.
• Если $$b<-1$$, то $$b-1<0$$ и $$b+1<0$$, поэтому после деления на отрицательное число знак меняется: $$x>\dfrac{1}{b+1}$$.

Ответ:

а) $$x\ge m+1$$ при $$m>1$$; $$x\le m+1$$ при $$m<1$$; $$x\in\mathbb{R}$$ при $$m=1$$.

б) $$x>\dfrac{1}{b+1}$$ при $$b<-1$$ или $$b>1$$; $$x<\dfrac{1}{b+1}$$ при $$-1<b<1$$; $$x\in\mathbb{R}$$ при $$b=-1$$; решений нет при $$b=1$$.