Упр.34.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Чтобы в множестве значений функции

$$y=\frac{x^2-2x-a}{x^2+6}$$

содержалось только одно целое число, это число должно быть единственным целым значением, которое функция принимает при всех $$x$$.

Найдём предел при $$x\to\infty$$:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-2x-a}{x^2+6}=1.$$

Значит, если множество значений функции содержит только одно целое число, то это число должно лежать между значениями функции по обе стороны от асимптоты, то есть должно выполняться

$$0<\frac{x^2-2x-a}{x^2+6}<2.$$

Так как $$x^2+6>0$$ при всех $$x$$, получаем систему:

$$\begin{cases} x^2-2x-a>0,\\ x^2-2x-a<2x^2+12. \end{cases}$$

Первое неравенство:

$$x^2-2x-a>0.$$

Чтобы оно выполнялось при всех $$x$$, квадратный трёхчлен должен не иметь действительных корней:

$$D= (-2)^2-4\cdot 1\cdot(-a)=4+4a<0,$$

откуда

$$a<-1.$$

Второе неравенство:

$$x^2-2x-a<2x^2+12,$$

$$x^2+2x+a+12>0.$$

Чтобы это неравенство выполнялось при всех $$x$$, нужно, чтобы дискриминант был отрицательным:

$$D=2^2-4(a+12)=4-4a-48=-4a-44<0,$$

откуда

$$a>-11.$$

Совмещая условия, получаем:

$$-11<a<-1.$$

Ответ

$$a\in(-11;\,-1).$$