Упр.34.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Известно, что уравнение $$(2a+3)x^2+ax+3x+1=0$$ имеет хотя бы один корень. При каких значениях параметра $$a$$ число корней этого уравнения равно числу корней уравнения $$\frac{21-a}{1+2x}=3+\sqrt{x-3}$$?

Рассмотрим второе уравнение

$$\frac{21-a}{1+2x}=3+\sqrt{x-3}.$$

Область определения: $$x\ge 3,\quad x\ne -\frac12.$$

При $$x=3$$ правая часть равна $$3$$, поэтому для существования хотя бы одного решения нужно, чтобы

$$\frac{21-a}{1+2\cdot 3}\ge 3,$$

то есть

$$\frac{21-a}{7}\ge 3 \;\Rightarrow\; 21-a\ge 21 \;\Rightarrow\; a\le 0.$$

Теперь рассмотрим первое уравнение:

$$\left(2a+3\right)x^2+ax+3x+1=0,$$

или

$$\left(2a+3\right)x^2+(a+3)x+1=0.$$

Чтобы оно имело хотя бы один корень, нужно:

1. либо оно линейное: $$2a+3=0 \Rightarrow a=-\frac32;$$
2. либо его дискриминант неотрицателен:

$$D=(a+3)^2-4(2a+3)=a^2-2a-3=(a-3)(a+1)\ge 0.$$

Отсюда

$$a\le -1 \quad \text{или} \quad a\ge 3.$$

С учётом условия $$a\le 0$$ остаются значения

$$a=-\frac32,\quad a=-1.$$

Проверим число корней второго уравнения при этих значениях.

• При $$a=-\frac32$$ имеем $$\frac{21-a}{1+2x}=\frac{45/2}{1+2x}.$$ При $$x=3$$ левая часть равна $$\frac{45/2}{7}>3$$, значит, уравнение имеет один корень.
• При $$a=-1$$ имеем $$\frac{22}{1+2x}.$$ При $$x=3$$ левая часть равна $$\frac{22}{7}>3$$, значит, уравнение также имеет один корень.

Следовательно, число корней обоих уравнений совпадает именно при этих значениях параметра.

Ответ: $$a=-\frac32,\,-1.$$