Упр.34.46 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдите все значения параметра $$a$$, при которых в области определения функции $$y=\left(a(x+0,5)+a^3\sqrt{x}-x(0,5+x\log_x(a)-a^{3,5})\right)^{0,5}$$ принадлежит лишь одно целое число.
Рассмотрим функцию
$$y=\left(a^{x+0,5}+a^3\sqrt{x}-x^{0,5+x\log_x a}-a^{3,5}\right)^{0,5}.$$
Чтобы область определения функции содержала ровно одно целое число, сначала найдём условия существования выражения.
Так как есть логарифм по основанию $$x$$, то
$$a>0,\quad x>0,\quad x\ne 1.$$
Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$a^{x+0,5}+a^3\sqrt{x}-x^{0,5+x\log_x a}-a^{3,5}\ge 0.$$
Преобразуем его:
$$a^x\sqrt{a}+a^3\sqrt{x}-\sqrt{x}\cdot x^{\log_x a}-a^3\sqrt{a}\ge 0,$$
так как $$x^{x\log_x a}=a^x.$$ Тогда
$$a^x\sqrt{a}+a^3\sqrt{x}-a^x\sqrt{x}-a^3\sqrt{a}\ge 0,$$
$$a^x(\sqrt{a}-\sqrt{x})-a^3(\sqrt{a}-\sqrt{x})\ge 0,$$
$$\left(a^x-a^3\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{x}\right)\ge 0.$$
Итак, область определения задаётся системой
$$\begin{cases} x>0,\\ x\ne 1,\\ \left(a^x-a^3\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{x}\right)\ge 0. \end{cases}$$
Рассмотрим случаи.
Если $$0<a<1,$$ то $$a^x-a^3$$ меняет знак в точке $$x=3$$ так, что решение неравенства даёт бесконечно много целых чисел. Этот случай не подходит.
Если $$a=1,$$ то неравенство выполняется при всех допустимых $$x$$, и целых чисел в области определения бесконечно много. Этот случай тоже не подходит.
Если $$a>1,$$ то:
- при $$1<a<3$$ область определения содержит целые числа $$2,3,\dots,\lfloor a\rfloor$$, то есть их больше одного;
- при $$a=3$$ область определения содержит ровно одно целое число $$3$$;
- при $$a>3$$ область определения имеет вид $$3\le x\le a,$$ и ровно одно целое число получается только при $$3<a<4.$$
Объединяя подходящие случаи, получаем:
$$2<a<4.$$
Ответ: $$2<a<4.$$
