Упр.34.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите все положительные значения параметра $$a$$, при которых неравенство $$\left|2x+a|x|-13\right|\geq 1$$ выполняется для всех $$x$$ из отрезка $$[-3;3]$$.

Рассмотрим неравенство

$$|2x+a|x|-13|\ge 1.$$

Оно равносильно совокупности двух неравенств:

$$2x+a|x|-13\le -1 \quad \text{или} \quad 2x+a|x|-13\ge 1.$$

То есть

$$2x+a|x|\le 12 \quad \text{или} \quad 2x+a|x|\ge 14.$$

Проверим второе неравенство. При $$x=0$$ получаем

$$2\cdot 0+a|0|=0,$$

поэтому оно не выполняется для всех $$x\in[-3;3]$$ и не может обеспечить выполнение исходного неравенства на всём отрезке.

Значит, нужно рассмотреть только неравенство

$$2x+a|x|\le 12.$$

Разберёмся с модулем.

1. Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x$$, и тогда

   $$2x+ax\le 12,$$

   $$x(a+2)\le 12,$$

   $$x\le \frac{12}{a+2}.$$

2. Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x$$, и тогда

   $$2x-ax\le 12,$$

   $$x(2-a)\le 12.$$

   При $$0<a\le 2$$ левая часть не даёт ограничений на отрицательные $$x$$, а при $$a>2$$ получаем

   $$x\ge \frac{12}{2-a}.$$

Теперь потребуем, чтобы всё множество решений содержало отрезок $$[-3;3]$$.

Для этого достаточно, чтобы при $$x\ge 0$$ выполнялось

$$3\le \frac{12}{a+2},$$

откуда

$$a+2\le 4,$$

$$a\le 2.$$

Так как по условию $$a>0,$$ получаем

$$0<a\le 2.$$

При $$a>2$$ отрезок $$[-3;3]$$ уже не может целиком входить в множество решений, поэтому этот случай не подходит.

Ответ: $$0<a\le 2.$$