Упр.34.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$ уравнение $$4^x+2=a\cdot 2^x\sin \pi x$$ имеет единственный корень?

Подробный ответ

Преобразуем уравнение:

$$4^x+2=a\cdot 2^x\sin \pi x$$

$$2^{2x}+2=a\cdot 2^x\sin \pi x$$

$$2^x+\frac{2}{2^x}=a\sin \pi x$$

$$\sqrt2\left(2^{x-\frac12}+2^{-x+\frac12}\right)=a\sin \pi x.$$

Пусть $$x=t$$ — корень этого уравнения. Тогда из-за симметрии относительно замены $$x\mapsto 1-x$$ число $$1-t$$ тоже является корнем. Чтобы корень был единственным, должно быть

$$t=1-t,$$

откуда

$$t=\frac12.$$

Подставим $$x=\frac12$$ в исходное уравнение:

$$4^{\frac12}+2=a\cdot 2^{\frac12}\sin\frac{\pi}{2}$$

$$2+2=a\sqrt2$$

$$a=2\sqrt2.$$

Проверим, что при этом значении параметра корень действительно единственный. При $$a=2\sqrt2$$ получаем

$$\sqrt2\left(2^{x-\frac12}+2^{-x+\frac12}\right)=2\sqrt2\sin \pi x,$$

то есть

$$2^{x-\frac12}+2^{-x+\frac12}=2\sin \pi x.$$

Левая часть не меньше $$2$$, а правая не больше $$2$$. Значит, равенство возможно только при