Упр.34.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких положительных значениях параметра $$a$$ неравенство $$2x^2-a\ln x<0$$ имеет хотя бы одно решение?

Рассмотрим функцию $$f(x)=2x^2-a\ln x,\qquad x>0,\ a>0.$$

Нужно, чтобы неравенство $$2x^2-a\ln x<0$$ имело хотя бы одно решение, то есть чтобы функция $$f(x)$$ принимала отрицательные значения.

Найдём производную:

$$f'(x)=4x-\frac{a}{x}=\frac{4x^2-a}{x}.$$

Так как $$x>0,$$ знак производной определяется числителем $$4x^2-a.$$

Решим уравнение $$f'(x)=0$$:

$$4x^2-a=0 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\sqrt a}{2}.$$

При $$0<x<\frac{\sqrt a}{2}$$ имеем $$f'(x)<0,$$ а при $$x>\frac{\sqrt a}{2}$$ имеем $$f'(x)>0.$$ Значит, в точке $$x=\frac{\sqrt a}{2}$$ функция достигает минимума.

Вычислим минимальное значение:

$$f\!\left(\frac{\sqrt a}{2}\right)=2\left(\frac{\sqrt a}{2}\right)^2-a\ln\frac{\sqrt a}{2}=\frac a2-a\ln\frac{\sqrt a}{2}.$$

Преобразуем:

$$\ln\frac{\sqrt a}{2}=\frac12\ln a-\ln 2=\frac12\ln\frac a4,$$

поэтому

$$f\!\left(\frac{\sqrt a}{2}\right)=\frac a2-\frac a2\ln\frac a4=\frac a2\left(1-\ln\frac a4\right).$$

Чтобы неравенство имело решение, нужно:

$$\frac a2\left(1-\ln\frac a4\right)<0.$$

Так как $$a>0,$$ получаем

$$1-\ln\frac a4<0 \quad \Rightarrow \quad \ln\frac a4>1 \quad \Rightarrow \quad \frac a4>e \quad \Rightarrow \quad a>4e.$$

Ответ

$$a\in(4e;+\infty).$$