Упр.34.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ система уравнений $$\begin{cases} ax^2+a-1=y-|\sin x|,\\ |\operatorname{tg}x|+|y|=1 \end{cases}$$ имеет единственное решение?

Система имеет вид

$$\begin{cases} ax^2+a-1=y-|\sin x|,\\ |\tg x|+|y|=1. \end{cases}$$

Заметим, что обе части уравнений — чётные функции по $$x$$. Поэтому если $$(x_1;y_1)$$ — решение системы, то и $$(-x_1;y_1)$$ тоже решение. Значит, единственное решение возможно только при $$x=0$$.

Подставим $$x=0$$:

$$\begin{cases} a-1=y,\\ |y|=1. \end{cases}$$

Отсюда

$$y=1,\ a=2 \quad \text{или} \quad y=-1,\ a=0.$$

Проверим оба значения параметра.

Если $$a=2,$$ то система принимает вид

$$\begin{cases} 2x^2+1=y-|\sin x|,\\ |\tg x|+|y|=1. \end{cases}$$

Из второго уравнения имеем $$|y|\le 1.$$ Тогда правая часть первого уравнения не положительна, а левая часть $$2x^2+1+|\sin x|$$ неотрицательна. Следовательно, возможно только

$$2x^2=0,\qquad y-|\sin x|-1=0.$$

Отсюда $$x=0,$$ $$y=1.$$ Проверка показывает, что пара $$(0;1)$$ действительно удовлетворяет системе.

Если $$a=0,$$ то получаем

$$\begin{cases} -1=y-|\sin x|,\\ |\tg x|+|y|=1. \end{cases}$$

Тогда подходят, например, все пары вида $$\left(\pi n;\,-1\right),\ n\in\mathbb Z,$$ то есть решений бесконечно много.

Следовательно, единственное решение система имеет только при $$a=2.$$

Ответ: $$a=2.$$