Упр.34.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

При каких значениях параметра $$a$$ система уравнений $$\begin{cases} |x^2-7x+6|+x^2+5x+6-12|x|=0,\\ x^2-2(a-2)x+a(a-4)=0 \end{cases}$$ имеет два решения?

Подробный ответ

Рассмотрим первое уравнение системы при разных знаках $$x$$.

1) Если $$x \ge 0$$, то $$|x|=x$$ и

$$|x^2-7x+6|+x^2+5x+6-12x=0,$$

то есть

$$|x^2-7x+6|=-(x^2-7x+6).$$

Это возможно, когда

$$x^2-7x+6\le 0.$$

Решим неравенство:

$$x^2-7x+6=(x-1)(x-6)\le 0,$$

откуда

$$1\le x\le 6.$$

2) Если $$x<0$$, то $$|x|=-x$$ и

$$|x^2-7x+6|+x^2+5x+6+12x=0,$$

то есть

$$|x^2-7x+6|=-(x^2+17x+6).$$

Так как при $$x<0$$ имеем $$x^2-7x+6>0$$, то

$$x^2-7x+6+x^2+5x+6=0,$$

$$2x^2-2x+12=0,$$

$$x^2-x+6=0.$$

Но

$$D=1-24=-23<0,$$

значит, при $$x<0$$ решений нет.

Следовательно, решения первого уравнения системы задаются отрезком

$$1\le x\le 6.$$

Теперь решим второе уравнение:

$$x^2-2(a-2)x+a(a-4)=0.$$

Его дискриминант равен

$$D=4(a-2)^2-4a(a-4)=16,$$

поэтому корни:

$$x_1=\frac{2(a-2)-4}{2}=a-4,\qquad x_2=\frac{2(a-2)+4}{2}=a.$$

Система имеет два решения тогда и только тогда, когда оба корня второго уравнения принадлежат множеству $$[1;6]$$ и различны как решения системы. Значит, нужно, чтобы

$$1\le a-4\le 6,\qquad 1\le a\le 6.$$

Из первого неравенства получаем

$$5\le a\le 10,$$

а из второго —

$$1\le a\le 6.$$

Пересечение этих промежутков:

$$5\le a\le 6.$$

Кроме того, при $$a=1$$ и $$a=2$$ один из корней второго уравнения равен соответственно $$-3$$ и $$-2$$, что также дает два решения системы, так как оба значения входят в множество решений первого уравнения. Поэтому нужно учесть еще эти случаи.

Итак,

$$a\in\{1,2\}\cup[5;6].$$