Упр.34.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
При каких значениях параметра $$a$$ графики функций $$y=a|x+1|$$ и $$y=x+a^2|x|$$ пересекаются в трех точках?
Рассмотрим точки пересечения графиков по промежуткам, на которых раскрываются модули.
1) При $$x \ge 0$$ имеем $$|x+1|=x+1,\quad |x|=x.$$ Тогда
$$a(x+1)=x+a^2x$$
$$ax+a=x+a^2x$$
$$x(a^2-a+1)=a$$
$$x=\frac{a}{a^2-a+1}.$$
Чтобы эта точка лежала при $$x \ge 0$$, нужно
$$\frac{a}{a^2-a+1}\ge 0.$$
Так как $$a^2-a+1>0$$ при всех $$a$$, получаем $$a\ge 0$$.
2) При $$-1 \le x < 0$$ имеем $$|x+1|=x+1,\quad |x|=-x.$$ Тогда
$$a(x+1)=x-a^2x$$
$$ax+a=x-a^2x$$
$$x(a^2+a-1)=-a$$
$$x=-\frac{a}{a^2+a-1}.$$
Чтобы эта точка лежала на отрезке $$[-1,0)$$, нужно
$$-1\le -\frac{a}{a^2+a-1}<0.$$
Из правого неравенства получаем
$$\frac{a}{a^2+a-1}>0.$$
Из левого неравенства
$$\frac{a}{a^2+a-1}\le 1$$
$$a\le a^2+a-1$$
$$a^2-1\ge 0$$
$$(a-1)(a+1)\ge 0.$$
Совместно это дает
$$a<\frac{-1-\sqrt5}{2}\quad \text{или}\quad -1\le a<\frac{-1+\sqrt5}{2}\quad \text{или}\quad a\ge 1.$$
С учетом $$\frac{a}{a^2+a-1}>0$$ остаются значения
$$\frac{-1-\sqrt5}{2}
3) При $$x<-1$$ имеем $$|x+1|=-(x+1),\quad |x|=-x.$$ Тогда
$$-a(x+1)=x-a^2x$$
$$-ax-a=x-a^2x$$
$$x(a^2-a-1)=a$$
$$x=\frac{a}{a^2-a-1}.$$
Чтобы эта точка лежала при $$x<-1$$, нужно
$$\frac{a}{a^2-a-1}<-1.$$
Это неравенство эквивалентно
$$\frac{a^2-1}{a^2-a-1}<0$$
$$\frac{(a-1)(a+1)}{a^2-a-1}<0.$$
Отсюда
$$-1 Чтобы было ровно три точки пересечения, нужно, чтобы одна точка была на каждом из трех промежутков. Это выполняется при $$1 $$a\in\left(1;\frac{1+\sqrt5}{2}\right).$$Ответ
