Упр.34.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Сколько корней имеет уравнение $$||x|-2|-a$$ при различных значениях параметра $$a$$?
б) Решите уравнение $$|x-1|+|x-3|=a$$.
Рассмотрим каждое уравнение отдельно.
а)
$$||x|-2|=a$$
Обозначим $$t=|x|$$, тогда $$t\ge 0$$ и получаем уравнение
$$|t-2|=a.$$
Это возможно только при $$a\ge 0$$. Графически прямая $$y=a$$ пересекает график функции $$y=|t-2|$$:
- не пересекает его при $$a<0$$ — корней нет;
- в одной точке при $$a=0$$ — один корень $$x=0$$;
- в двух точках при $$a=2$$ — три корня $$x=-2,\,0,\,2$$;
- в двух точках при $$a>2$$ — два корня;
- в четырёх точках при $$0<a<2$$ — четыре корня.
б)
$$|x-1|+|x-3|=a$$
Рассмотрим по промежуткам:
Если $$x<1$$, то
$$|x-1|+|x-3|=(1-x)+(3-x)=4-2x.$$
Если $$1\le x\le 3$$, то
$$|x-1|+|x-3|=(x-1)+(3-x)=2.$$
Если $$x>3$$, то
$$|x-1|+|x-3|=(x-1)+(x-3)=2x-4.$$
Следовательно, функция $$y=|x-1|+|x-3|$$ принимает значения не меньше $$2$$. Поэтому:
- при $$a<2$$ корней нет;
- при $$a=2$$ все $$x$$ из отрезка $$[1;3]$$ — корни;
- при $$a>2$$ получаем два корня из уравнений
$$4-2x=a \quad \text{и} \quad 2x-4=a,$$
откуда
$$x_1=\frac{4-a}{2}, \qquad x_2=\frac{a+4}{2}.$$
Ответ: а) при $$a<0$$ корней нет; при $$a=0$$ — один корень; при $$0<a<2$$ — четыре корня; при $$a=2$$ — три корня; при $$a>2$$ — два корня. б) при $$a<2$$ корней нет; при $$a=2$$, $$x\in[1;3]$$; при $$a>2$$, $$x=\frac{4-a}{2}$$ и $$x=\frac{a+4}{2}$$.
