Упр.34.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$:

а) в уравнении $$(x-a)^2-12|x-a|+35=0$$ число отрицательных корней равно числу положительных корней;

б) в уравнении $$(x+a)^2-6|x+a|+8=0$$ число положительных корней больше числа отрицательных корней?

Положим $$t=|x-a|.$$ Тогда уравнение

$$(x-a)^2-12|x-a|+35=0$$

примет вид

$$t^2-12t+35=0.$$

Решим его:

$$D=12^2-4\cdot 35=144-140=4,$$

$$t_{1,2}=\frac{12\pm 2}{2}, \quad t_1=5,\; t_2=7.$$

Значит,

$$|x-a|=5 \quad \text{или} \quad |x-a|=7.$$

Отсюда получаем четыре корня:

$$x=a-5,\; x=a+5,\; x=a-7,\; x=a+7.$$

Чтобы число отрицательных корней было равно числу положительных, нужно, чтобы два корня были меньше нуля, а два — больше нуля. Это возможно тогда и только тогда, когда

$$a-5<0,\qquad a+5>0.$$

Следовательно,

$$-5<a<5.$$

Теперь рассмотрим уравнение

$$(x+a)^2-6|x+a|+8=0.$$

Положим $$t=|x+a|.$$ Тогда

$$t^2-6t+8=0.$$

Решаем:

$$D=6^2-4\cdot 8=36-32=4,$$

$$t_{1,2}=\frac{6\pm 2}{2}, \quad t_1=2,\; t_2=4.$$

Значит,

$$|x+a|=2 \quad \text{или} \quad |x+a|=4.$$

Получаем корни:

$$x=-a-2,\; x=-a+2,\; x=-a-4,\; x=-a+4.$$

Чтобы положительных корней было больше, чем отрицательных, достаточно и необходимо, чтобы точка $$-a-2$$ была неотрицательной:

$$-a-2\ge 0.$$

Тогда все четыре корня будут положительными или два из них окажутся положительными, а отрицательных будет меньше. Получаем

$$a\le -2.$$

Ответ

а) $$-5<a<5$$; б) $$a\le -2$$.