Упр.34.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 34 37. При каких значениях $$a$$ уравнение $$|x^2-4x-5|=a$$: а) имеет два корня; б) имеет четыре корня?

Рассмотрим функцию $$y=\left|x^2-4x-5\right|.$$

Сначала найдём вершину параболы $$y=x^2-4x-5.$$

$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-4)}{2\cdot 1}=2,$$

$$y_0=|2^2-4\cdot 2-5|=|-9|=9.$$

Значит, график функции $$y=\left|x^2-4x-5\right|$$ имеет наибольшее значение $$9$$, а нули находятся из уравнения

$$x^2-4x-5=0,$$

$$\left(x-5\right)\left(x+1\right)=0,$$

откуда $$x=-1$$ и $$x=5.$$

Теперь рассмотрим пересечения графика с прямой $$y=a.$$

1. Если $$a=0,$$ то уравнение имеет два корня: $$x=-1$$ и $$x=5.$$
2. Если $$0<a<9,$$ то прямая $$y=a$$ пересекает график в четырёх точках, значит, уравнение имеет четыре корня.
3. Если $$a=9,$$ то получается один корень.
4. Если $$a>9,$$ то корней нет.

Ответ: а) $$a=0$$; б) $$0<a<9.$$