Упр.34.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ существуют два решения:
   а) системы $$\begin{cases} y=|x-2|, \\ y=ax+1; \end{cases}$$
   б) уравнения $$|x+4|=ax+2$$?

Рассмотрим каждое задание отдельно.

а)

Система имеет два решения тогда и только тогда, когда прямая $$y=ax+1$$ пересекает график $$y=|x-2|$$ в двух точках.

График функции $$y=|x-2|$$ состоит из двух лучей:

$$y=2-x \quad \text{при } x\le 2,$$

$$y=x-2 \quad \text{при } x\ge 2.$$

Чтобы было ровно два пересечения, прямая должна пересекать оба луча. Это возможно, если:

• она пересекает правый луч, то есть $$a<1$$;
• она пересекает левый луч, то есть $$a>-\frac12$$.

Значит,

$$-\frac12<a<1.$$

б)

Уравнение

$$|x+4|=ax+2$$

равносильно системе пересечения графиков $$y=|x+4|$$ и $$y=ax+2$$. Чтобы было два решения, прямая должна пересекать график модуля в двух точках.

График $$y=|x+4|$$ состоит из двух лучей:

$$y=-x-4 \quad \text{при } x\le -4,$$

$$y=x+4 \quad \text{при } x\ge -4.$$

Для двух пересечений нужно, чтобы прямая пересекала оба луча. Тогда получаем условия:

• для пересечения правого луча $$a<1$$;
• для пересечения левого луча $$a>-1$$.

Следовательно,

$$-1<a<1.$$

Ответ

а) $$a\in\left(-\frac12;1\right)$$; б) $$a\in(-1;1)$$.