Упр.34.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях $$p$$ уравнение $$\lvert 3x+6\rvert=px+2$$ имеет: а) один корень; б) два корня?

Рассмотрим уравнение $$|3x+6|=px+2.$$

Преобразуем его:

$$|3x+6|=3|x+2|,$$

поэтому

$$3|x+2|=px+2.$$

Графически это означает пересечение графика функции $$y=3|x+2|$$ с прямой $$y=px+2.$$

а) Один корень

Один корень получается в трёх случаях:

• прямая касается левой ветви графика: $$p=-3$$;
• прямая проходит через вершину графика: $$p=1$$;
• прямая пересекает правую ветвь графика в одной точке: $$p>3$$.

Значит,

$$p\in(-\infty;-3]\cup\{1\}\cup(3;+\infty).$$

б) Два корня

Два корня будут тогда, когда прямая пересекает обе ветви графика, то есть при

$$-3<p<1.$$

Ответ: а) $$p\in(-\infty;-3]\cup\{1\}\cup(3;+\infty)$$; б) $$p\in(-3;1).$$