Упр.34.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

При каких значениях $$a$$:

а) уравнение $$x^4-8x^2+4=a$$ не имеет корней;

б) уравнение $$3x^4+4x^3-12x^2=a$$ имеет не менее трех корней?

Пусть $$y_1=x^4-8x^2+4.$$ Тогда

$$y_1′ = 4x^3-16x = 4x(x-2)(x+2).$$

Критические точки: $$x=-2,\;0,\;2.$$ Найдём значения функции в них:

$$y_1(-2)=16-32+4=-12,$$

$$y_1(0)=4,$$

$$y_1(2)=16-32+4=-12.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-12$$. Поэтому уравнение

$$x^4-8x^2+4=a$$

не имеет корней при

$$a<-12.$$

Теперь рассмотрим

$$y_2=3x^4+4x^3-12x^2.$$

Тогда

$$y_2′ = 12x^3+12x^2-24x = 12x(x^2+x-2)=12x(x+2)(x-1).$$

Критические точки: $$x=-2,\;0,\;1.$$ Найдём значения функции:

$$y_2(-2)=3\cdot 16+4\cdot(-8)-12\cdot 4=-32,$$

$$y_2(0)=0,$$

$$y_2(1)=3+4-12=-5.$$

Горизонтальная прямая $$y=a$$ пересекает график функции не менее чем в трёх точках при

$$-5\le a\le 0.$$

Ответ: а) $$a<-12$$; б) $$-5\le a\le 0$$.