Упр.34.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
- При каких значениях $$a$$ уравнение имеет ровно три корня: а) $$x(x+3)^2+a=0$$; б) $$x^3-12x+1=a$$?
а) Рассмотрим функцию $$y=x(x+3)^2=x^3+6x^2+9x.$$
Тогда уравнение $$x(x+3)^2+a=0$$ равносильно уравнению $$y=-a.$$
Найдём экстремумы функции:
$$y’ = 3x^2+12x+9=3(x^2+4x+3)=3(x+3)(x+1).$$
Критические точки: $$x=-3$$ и $$x=-1.$$
Вычислим значения функции в этих точках:
$$y(-3)=(-3)\cdot 0^2=0,$$
$$y(-1)=(-1)\cdot 2^2=-4.$$
Значит, график функции пересекает прямую $$y=-a$$ в трёх точках тогда и только тогда, когда
$$-4<-a<0.$$
Отсюда получаем:
$$0<a<4.$$
б) Рассмотрим функцию $$y=x^3-12x+1.$$
Тогда уравнение $$x^3-12x+1=a$$ равносильно уравнению $$y=a.$$
Найдём экстремумы функции:
$$y’ = 3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2).$$
Критические точки: $$x=-2$$ и $$x=2.$$
Вычислим значения функции:
$$y(-2)=(-2)^3-12(-2)+1=-8+24+1=17,$$
$$y(2)=2^3-12\cdot 2+1=8-24+1=-15.$$
Следовательно, прямая $$y=a$$ пересекает график в трёх точках тогда и только тогда, когда
$$-15<a<17.$$
Ответ
а) $$a\in(0;4)$$; б) $$a\in(-15;17).$$
