Упр.34.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Решите уравнение:
а) $$\text{корень }a\cos 2x+3\sin 2x=\cos x$$, если известно, что $$x=0$$ — корень уравнения;
б) $$2\sin 2x-a\cos 2x=-\sin x$$, если известно, что $$x=\frac{\pi}{2}$$ — корень уравнения.
а) Подставим $$x=0$$ в уравнение $$\sqrt{a\cos 2x+3\sin 2x}=\cos x.$$ Тогда
$$\sqrt{a\cos 0+3\sin 0}=\cos 0,$$
$$\sqrt{a}=1,$$
откуда $$a=1.$$
Получаем уравнение
$$\sqrt{\cos 2x+3\sin 2x}=\cos x.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$\cos 2x+3\sin 2x=\cos^2 x.$$
Используем формулы $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$\cos^2 x-\sin^2 x+6\sin x\cos x=\cos^2 x,$$
$$6\sin x\cos x-\sin^2 x=0,$$
$$\sin x(6\cos x-\sin x)=0.$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 6\cos x-\sin x=0.$$
1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$
С учётом области определения $$\cos x\ge 0$$ и $$\sqrt{\cos 2x+3\sin 2x}\ge 0$$ получаем $$x=2\pi n.$$
2) $$6\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=6,$$
$$x=\arctg 6+\pi n.$$
С учётом области определения остаются значения
$$x=\arctg 6+2\pi n.$$
Итак,
$$x=2\pi n,\quad x=\arctg 6+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) Подставим $$x=-\dfrac{\pi}{2}$$ в уравнение $$\sqrt{2\sin 2x-a\cos 2x}=-\sin x.$$ Тогда
$$\sqrt{2\sin\left(-\pi\right)-a\cos\left(-\pi\right)}=-\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right),$$
$$\sqrt{0+a}=1,$$
откуда $$a=1.$$
Получаем уравнение
$$\sqrt{2\sin 2x-\cos 2x}=-\sin x.$$
Возведём обе части в квадрат:
$$2\sin 2x-\cos 2x=\sin^2 x.$$
Подставим формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$4\sin x\cos x-\cos^2 x+\sin^2 x=\sin^2 x,$$
$$4\sin x\cos x-\cos^2 x=0,$$
$$\cos x(4\sin x-\cos x)=0.$$
Отсюда:
1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n.$$
С учётом условия $$-\sin x\ge 0$$ получаем
$$x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n.$$
2) $$4\sin x-\cos x=0 \Rightarrow \tg x=\dfrac14,$$
$$x=\arctg\dfrac14+\pi n.$$
С учётом условия $$-\sin x\ge 0$$ остаются значения
$$x=\pi+\arctg\dfrac14+2\pi n.$$
$$x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n,\quad x=\pi+\arctg\dfrac14+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
