Упр.34.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Положим $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда

а)

$$9^x+(a+4)\cdot 3^x+4a=0$$

получаем квадратное уравнение

$$t^2+(a+4)t+4a=0.$$

Его дискриминант:

$$D=(a+4)^2-16a=a^2-8a+16=(a-4)^2.$$

Корни:

$$t_1=\frac{-(a+4)-(a-4)}{2}=-a,\qquad t_2=\frac{-(a+4)+(a-4)}{2}=-2.$$

Так как $$t>0,$$ подходит только корень $$t=-a.$$ Значит,

$$-a>0 \;\Rightarrow\; a<0.$$

Ответ: $$a\in(-\infty;0).$$

б)

$$25^x-(a-2)\cdot 5^x-2a=0$$

Положим $$t=5^x,\quad t>0.$$ Тогда

$$t^2-(a-2)t-2a=0.$$

Дискриминант:

$$D=(a-2)^2+8a=a^2+4a+4=(a+2)^2.$$

Корни:

$$t_1=\frac{(a-2)-(a+2)}{2}=-2,\qquad t_2=\frac{(a-2)+(a+2)}{2}=a.$$

Так как $$t>0,$$ подходит только корень $$t=a.$$ Следовательно,

$$a>0.$$

Ответ: $$a\in(0;+\infty).$$