Упр.34.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Сколько корней при различных значениях $$a$$ имеет уравнение:
а) $$\sqrt{x}=x-a$$;
б) $$\sqrt{4-x^2}=x+a$$?
Рассмотрим число точек пересечения графиков соответствующих функций.
а)
$$\sqrt{x}=x-a$$
Пусть $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$g(x)=x-a$$. Тогда число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x-a$$.
Прямая будет касательной к графику $$y=\sqrt{x}$$, если их угловые коэффициенты равны:
$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}=1$$
Отсюда
$$2\sqrt{x}=1,\quad \sqrt{x}=\frac12,\quad x=\frac14.$$
Подставим в уравнение:
$$\frac12=\frac14-a,$$
$$a=-\frac14.$$
Значит:
- если $$a<-\frac14,$$ то корней нет;
- если $$a=-\frac14$$ или $$a>0,$$ то один корень;
- если $$-\frac14<a\le 0,$$ то два корня.
б)
$$\sqrt{4-x^2}=x+a$$
Пусть $$f(x)=\sqrt{4-x^2}$$, $$g(x)=x+a$$. Тогда число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков $$y=\sqrt{4-x^2}$$ и $$y=x+a$$.
Найдём значение $$a$$, при котором прямая касается полуокружности:
$$f'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}.$$
Для касания нужно
$$\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}=1,$$
$$-x=\sqrt{4-x^2}.$$
Возведём в квадрат:
$$x^2=4-x^2,$$
$$2x^2=4,$$
$$x^2=2,\quad x=-\sqrt2.$$
Тогда
$$\sqrt{4-2}=-\sqrt2+a,$$
$$\sqrt2=-\sqrt2+a,$$
$$a=2\sqrt2.$$
Теперь учитываем возможные случаи:
- если $$a<-2$$ или $$a>2\sqrt2,$$ то корней нет;
- если $$-2\le a<2$$ или $$a=2\sqrt2,$$ то один корень;
- если $$2\le a<2\sqrt2,$$ то два корня.
Ответ
а) $$0$$ корней при $$a<-\frac14$$; $$1$$ корень при $$a=-\frac14$$ или $$a>0$$; $$2$$ корня при $$-\frac14<a\le 0$$.
б) $$0$$ корней при $$a<-2$$ или $$a>2\sqrt2$$; $$1$$ корень при $$-2\le a<2$$ или $$a=2\sqrt2$$; $$2$$ корня при $$2\le a<2\sqrt2$$.
