Упр.34.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

При каких значениях $$a$$:

а) уравнение $$5^{2x}-3\cdot5^x+a-1=0$$ имеет единственный корень;

б) уравнение $$0{,}01^x-2(a+1)\cdot0{,}1^x+4=0$$ не имеет действительных корней?

Подробный ответ

Положим $$y=5^x.$$ Тогда уравнение

$$5^{2x}-3\cdot 5^x+a-1=0$$

примет вид

$$y^2-3y+a-1=0.$$

Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, квадратное уравнение должно:

либо иметь один двукратный корень;
либо иметь два корня, но только один из них должен быть положительным, так как $$y=5^x>0.$$

1) Если $$D=0,$$ то

$$D=9-4(a-1)=13-4a,$$

откуда

$$13-4a=0,\qquad a=\frac{13}{4}.$$

При этом

$$y=\frac{3}{2}>0,$$

значит, подходит.

2) Если $$D>0,$$ то квадратное уравнение имеет два корня. Их сумма равна $$3,$$ а произведение равно $$a-1.$$ Чтобы положительным был только один корень, нужно

$$a-1\le 0,$$

то есть

$$a\le 1.$$

Итак,

$$a\in(-\infty;1]\cup\left\{\frac{13}{4}\right\}.$$

Положим теперь $$y=0{,}1^x.$$ Тогда

$$0{,}01^x-2(a+1)\cdot 0{,}1^x+4=0$$

примет вид

$$y^2-2(a+1)y+4=0.$$

Уравнение не имеет действительных корней, если

$$D<0$$

или если $$D\ge 0,$$ но оба корня не положительны. Найдём дискриминант:

$$D=4(a+1)^2-16=4\bigl((a+1)^2-4\bigr)=4(a+3)(a-1).$$

1) При $$D<0$$ получаем

$$-3<a<1.$$

2) При $$D\ge 0$$ квадратное уравнение имеет корни. Их сумма равна $$2(a+1),$$ произведение равно $$4.$$ Так как произведение положительно, корни одного знака. Чтобы они не были действительными корнями исходного уравнения, оба должны быть неположительными, то есть

$$a+1\le 0,\qquad a\le -1.$$

Объединяя случаи, получаем

$$a<1.$$