Упр.34.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x=a.$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\left(\sin\frac{\pi}{3}\sin x+\cos\frac{\pi}{3}\cos x\right)=2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Тогда

$$2\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=a,$$

$$\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{a}{2}.$$

Это возможно только при

$$-1\le \frac{a}{2}\le 1,$$

то есть

$$-2\le a\le 2.$$

Тогда

$$x-\frac{\pi}{3}=\pm \arccos\frac{a}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{3}\pm \arccos\frac{a}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$3\sin x+4\cos x=2a-1.$$

Преобразуем левую часть:

$$3\sin x+4\cos x=5\left(\frac35\sin x+\frac45\cos x\right)=5\left(\sin\varphi\sin x+\cos\varphi\cos x\right)=5\cos(x-\varphi),$$

где $$\cos\varphi=\frac45,\quad \sin\varphi=\frac35,$$ то есть $$\varphi=\arccos\frac45.$$

Получаем

$$5\cos\left(x-\arccos\frac45\right)=2a-1,$$

$$\cos\left(x-\arccos\frac45\right)=\frac{2a-1}{5}.$$

Это возможно при

$$-1\le \frac{2a-1}{5}\le 1,$$

откуда

$$-5\le 2a-1\le 5,$$

$$-4\le 2a\le 6,$$

$$-2\le a\le 3.$$

Тогда

$$x-\arccos\frac45=\pm \arccos\frac{2a-1}{5}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

следовательно,

$$x=\arccos\frac45\pm \arccos\frac{2a-1}{5}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) при $$-2\le a\le 2$$ $$x=\frac{\pi}{3}\pm \arccos\frac{a}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ при $$a<-2$$ или $$a>2$$ корней нет.

б) при $$-2\le a\le 3$$ $$x=\arccos\frac45\pm \arccos\frac{2a-1}{5}+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ при $$a<-2$$ или $$a>3$$ корней нет.