Упр.34.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Для уравнения $$\sin x=3a-2$$ необходимо, чтобы правая часть принадлежала промежутку $$[-1;1]$$:

$$-1\le 3a-2\le 1$$

$$1\le 3a\le 3$$

$$\frac13\le a\le 1$$

Тогда общее решение:

$$x=(-1)^n\arcsin(3a-2)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$a<\frac13$$ или $$a>1$$, то корней нет.

б) Преобразуем уравнение $$\cos^2 x=2a-1$$ с помощью формулы $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$:

$$\frac{1+\cos 2x}{2}=2a-1$$

$$1+\cos 2x=4a-2$$

$$\cos 2x=4a-3$$

Для существования решений нужно, чтобы

$$-1\le 4a-3\le 1$$

$$2\le 4a\le 4$$

$$\frac12\le a\le 1$$

Тогда

$$2x=\pm \arccos(4a-3)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\pm \frac12\arccos(4a-3)+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Если $$a<\frac12$$ или $$a>1$$, то корней нет.

Ответ: а) при $$\frac13\le a\le 1$$ $$x=(-1)^n\arcsin(3a-2)+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; при $$a<\frac13$$ или $$a>1$$ решений нет. б) при $$\frac12\le a\le 1$$ $$x=\pm \frac12\arccos(4a-3)+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; при $$a<\frac12$$ или $$a>1$$ решений нет.