Упр.34.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём производную и потребуем, чтобы она была неотрицательной при всех значениях $$x$$.

а)

$$y=ax^3+3ax^2+6x+7$$

$$y’=3ax^2+6ax+6=3\left(ax^2+2ax+2\right)$$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, нужно, чтобы

$$ax^2+2ax+2\ge 0$$

при всех $$x$$.

Рассмотрим квадратный трёхчлен по $$x$$. Для этого необходимо:

$$D=(2a)^2-4\cdot a\cdot 2=4a^2-8a\le 0$$

$$4a(a-2)\le 0$$

Отсюда

$$0\le a\le 2.$$

б)

$$y=2x^3-6a^2x+3$$

$$y’=6x^2-6a^2=6(x-a)(x+a)$$

Функция имеет минимум в точке $$x=3$$, значит в этой точке производная равна нулю:

$$6\cdot 3^2-6a^2=0$$

$$9-a^2=0$$

$$a^2=9$$

$$a=\pm 3.$$

Ответ: а) $$a\in[0;2]$$; б) $$a=\pm 3$$.