Упр.34.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Решите неравенство (относительно $$x$$): $$(a-1)x^2+2(2a+1)x+4a+3\le 0.$$

Рассмотрим квадратное неравенство относительно $$x$$:

$$(a-1)x^2+2(2a+1)x+4a+3\le 0.$$

Решение

Если $$a=1$$, то неравенство принимает вид

$$6x+7\le 0,$$

откуда

$$x\le -\frac{7}{6}.$$

Если $$a\ne 1$$, найдём дискриминант:

$$D=4(2a+1)^2-4(a-1)(4a+3).$$

Упростим:

$$D=4(4a^2+4a+1)-4(4a^2-a-3)=4(5a+4).$$

Тогда корни квадратного трёхчлена равны

$$x_{1,2}=\frac{-2(2a+1)\pm \sqrt{4(5a+4)}}{2(a-1)} =\frac{-(2a+1)\pm \sqrt{5a+4}}{a-1}.$$

То есть

$$x_1=\frac{-(2a+1)+\sqrt{5a+4}}{a-1},\qquad x_2=\frac{-(2a+1)-\sqrt{5a+4}}{a-1}.$$

Рассмотрим случаи.

1. Если $$5a+4\le 0$$, то $$D\le 0$$. При этом $$a\le -\frac45<1$$, значит ветви параболы направлены вниз, и выражение не превосходит нуля при любых $$x$$.

2. Если $$-\frac45<a<1$$, то $$D>0$$ и $$a-1<0$$, поэтому

   $$x\le x_1 \quad \text{или} \quad x\ge x_2.$$

3. Если $$a>1$$, то $$D>0$$ и $$a-1>0$$, поэтому

   $$x_2\le x\le x_1.$$

Ответ

если $$a\le -\frac45$$, то $$x\in \mathbb{R}$$;
если $$-\frac45<a<1$$, то $$x\le x_1$$ или $$x\ge x_2$$;
если $$a=1$$, то $$x\le -\frac76$$;
если $$a>1$$, то $$x_2\le x\le x_1$$,

где
$$x_1=\frac{-(2a+1)+\sqrt{5a+4}}{a-1},\qquad x_2=\frac{-(2a+1)-\sqrt{5a+4}}{a-1}.$$