Упр.34.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим уравнение $$\left(a-2\right)x^2-2ax+a+3=0.$$

Чтобы корни были различными, нужно, чтобы $$D>0$$ и $$a\ne 2$$.

Вычислим дискриминант:

$$D=(-2a)^2-4\left(a-2\right)\left(a+3\right)=4a^2-4\left(a^2+a-6\right)=4\left(6-a\right).$$

Тогда условие различных корней:

$$4\left(6-a\right)>0,\qquad a\ne 2,$$

откуда

$$a<6,\qquad a\ne 2.$$

а) Корни положительные

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=\frac{2a}{a-2},\qquad x_1x_2=\frac{a+3}{a-2}.$$

Для положительности обоих корней нужно:

$$x_1+x_2>0,\qquad x_1x_2>0.$$

Решаем систему неравенств:

$$\frac{2a}{a-2}>0,\qquad \frac{a+3}{a-2}>0.$$

Отсюда получаем

$$a\in(-\infty;-3)\cup(2;6).$$

б) Корни меньше числа $$3$$

Корни равны

$$x=\frac{2a\pm\sqrt{4\left(6-a\right)}}{2\left(a-2\right)}=\frac{a\pm\sqrt{6-a}}{a-2}.$$

Рассмотрим два случая.

Если $$a<2$$, то знаменатель отрицателен, и из условий $$x_1<3$$, $$x_2<3$$ получаем:

$$\frac{a-\sqrt{6-a}}{a-2}<3,\qquad \frac{a+\sqrt{6-a}}{a-2}<3.$$

После преобразований получаем:

$$4a^2-23a+30>0,$$

$$\left(a-2\right)\left(a-\frac{15}{4}\right)>0.$$

С учётом $$a<2$$ имеем $$a<2$$.

Если $$a>2$$, то аналогично:

$$\frac{a-\sqrt{6-a}}{a-2}<3,\qquad \frac{a+\sqrt{6-a}}{a-2}<3,$$

откуда снова получаем

$$4a^2-23a+30>0,$$

$$\left(a-2\right)\left(a-\frac{15}{4}\right)>0.$$

С учётом $$a>2$$ получаем $$\frac{15}{4}<a<6$$.

Итак,

$$a\in(-\infty;2)\cup\left(\frac{15}{4};6\right).$$

в) Корни отрицательные

Нужно, чтобы

$$x_1+x_2<0,\qquad x_1x_2>0.$$

То есть

$$\frac{2a}{a-2}<0,\qquad \frac{a+3}{a-2}>0.$$

Эта система не имеет решений.

Следовательно,

$$a\in\varnothing.$$

г) Корни принадлежат интервалу $$\left(1;3\right)$$

Корни должны удовлетворять неравенствам $$1<x_1<3$$ и $$1<x_2<3$$.

При $$a<2$$ это невозможно.

При $$a>2$$ получаем систему:

$$\frac{a-\sqrt{6-a}}{a-2}>1,\qquad \frac{a+\sqrt{6-a}}{a-2}<3.$$

После преобразований:

$$\sqrt{6-a}<2a-6,$$

$$\sqrt{6-a}&lt{2}.$$

Из первого неравенства следует $$a>3$$, а из второго — $$a>2$$. Совместно с условием существования корней и проверкой границ получаем

$$a\in\left(\frac{15}{4};6\right).$$

Ответ: а) $$a\in(-\infty;-3)\cup(2;6)$$; б) $$a\in(-\infty;2)\cup\left(\frac{15}{4};6\right)$$; в) $$a\in\varnothing$$; г) $$a\in\left(\frac{15}{4};6\right).$$