Упр.34.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) При каких значениях параметра $$a$$ решением неравенства
   $$(x-a)^2(x-3)(x+1)\leq 0$$
   является сплошной промежуток?
   б) При каких значениях параметра $$a$$ неравенство
   $$\frac{x-2a-1}{x-a}<0$$ выполняется при всех значениях $$x$$ из отрезка $$[1;2]$$?

а) Рассмотрим неравенство $$(x-a)^2(x-3)(x+1)\le 0.$$

Множитель $$(x-a)^2$$ всегда неотрицателен и обращается в нуль при $$x=a.$$ Поэтому знак произведения определяется множителем $$(x-3)(x+1).$$

Чтобы множество решений было сплошным промежутком, точка $$x=a$$ должна лежать внутри отрезка решений или совпадать с его концом. Для неравенства

$$(x-3)(x+1)\le 0$$

получаем отрезок $$[-1;3].$$

Если $$a\in[-1;3],$$ то добавление нуля в точке $$x=a$$ не нарушает сплошности промежутка. Если же $$a<-1$$ или $$a>3,$$ то появляется изолированная точка, и решение уже не является сплошным промежутком.

Следовательно,

$$-1\le a\le 3.$$

б) Рассмотрим неравенство

$$\frac{x-2a-1}{x-a}<0.$$

Его решение — промежуток между числами $$a$$ и $$2a+1,$$ то есть либо $$(a;2a+1),$$ либо $$(2a+1;a).$$

Требуется, чтобы оно выполнялось при всех $$x\in[1;2].$$ Значит, отрезок $$[1;2]$$ должен целиком лежать внутри этого промежутка. Это возможно только тогда, когда числа $$a$$ и $$2a+1$$ расположены по разные стороны от отрезка или совпадают с его концами так, чтобы весь отрезок оказался внутри:

$$a<1,\quad 2a+1>2$$

или

$$a>2,\quad 2a+1<1.$$

Вторая система не имеет решений. Из первой получаем

$$2a+1>2 \;\Rightarrow\; 2a>1 \;\Rightarrow\; a>\frac12,$$

и вместе с $$a<1$$ имеем

$$\frac12<a<1.$$

Ответ

а) $$-1\le a\le 3;$$ б) $$\frac12<a<1.$$