Упр.34.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим неравенство $$\sqrt{x-2}\cdot(x-a)\ge 0.$$

Чтобы произведение было неотрицательным, возможны два случая:

• $$\sqrt{x-2}=0,$$ тогда $$x=2;$$
• $$\sqrt{x-2}>0$$ и $$x-a\ge 0,$$ то есть $$x>a.$$

При этом выражение имеет смысл, если $$x-2\ge 0,$$ то есть $$x\ge 2.$$

Тогда:

• если $$a\le 2,$$ то при $$x\ge 2$$ выполняется $$x-a\ge 0,$$ значит, $$x\in[2;+\infty);$$
• если $$a>2,$$ то получаем $$x=2$$ или $$x\ge a,$$ то есть $$x\in\{2\}\cup[a;+\infty).$$

Ответ: $$x\in[2;+\infty),\ \text{если } a\le 2;\qquad x\in\{2\}\cup[a;+\infty),\ \text{если } a>2.$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(6-x\right)\sqrt{x-a}>0.$$

Так как $$\sqrt{x-a}\ge 0,$$ то для положительности произведения необходимо и достаточно, чтобы

• $$6-x>0,$$ то есть $$x<6;$$
• $$\sqrt{x-a}>0,$$ то есть $$x-a>0,$$ значит, $$x>a.$$

Кроме того, область определения задаётся условием $$x-a\ge 0,$$ то есть $$x\ge a.$$

Совмещая условия, получаем $$a<x<6.$$ Это возможно только при $$a<6.$$

Если $$a\ge 6,$$ то решений нет.

Ответ: $$x\in(a;6),\ \text{если } a<6;\qquad x\in\varnothing,\ \text{если } a\ge 6.$$