Упр.34.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Рассмотрим неравенство $$\left(x^3-8\right)(a-x)\ge 0.$$

Разложим разность кубов:

$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).$$

Так как $$x^2+2x+4>0$$ при любых $$x,$$ то неравенство равносильно

$$\left(x-2\right)(a-x)\ge 0.$$

Чтобы оно имело единственное решение, нужно, чтобы единственной точкой, где произведение неотрицательно, была точка $$x=2.$$ Это возможно только при совпадении корней:

$$a=2.$$

Ответ: $$a=2.$$

б) Рассмотрим неравенство $$\left(x-1\right)(a-x)\ge 0.$$

Оно равносильно

$$\left(x-1\right)\left(x-a\right)\le 0.$$

Решение такого неравенства — отрезок между корнями:

$$x\in[\min(1,a),\max(1,a)].$$

Нужно, чтобы целых решений было ровно пять.

Пусть $$a>1.$$ Тогда целые решения — числа от $$1$$ до $$a,$$ и их количество равно $$a.$$ Чтобы их было пять, получаем

$$a=5.$$

Пусть $$a<1.$$ Тогда целые решения — числа от $$a$$ до $$1,$$ и их количество равно $$1-a.$$ Чтобы их было пять, получаем

$$1-a=5,\quad a=-4.$$

Но при $$a=-4$$ целых решений действительно пять: $$-4,-3,-2,-1,0,1$$ — это уже шесть, значит такой случай не подходит. Тогда учитываем, что при $$a<1$$ число целых решений равно числу целых чисел на отрезке $$[a,1]$$, и для ровно пяти решений нужно

$$-4<a\le -3.$$

Итак, подходящие значения параметра:

$$a\in(-4,-3]\cup[5,6).$$

Ответ: $$a\in(-4,-3]\cup[5,6).$$