Упр.34.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим неравенство

$$ax^2+2ax+2x+2a+2\le 0.$$

Приведём его к виду квадратного трёхчлена относительно $$x$$:

$$ax^2+2(a+1)x+(2a+2)\le 0.$$

Для того чтобы неравенство выполнялось при любых $$x$$, парабола должна быть направлена вниз, то есть

$$a<0,$$

и дискриминант должен быть неположительным:

$$D=4(a+1)^2-4a(2a+2)=4a^2+8a+4-8a^2-8a=4-4a^2.$$

Тогда

$$D\le 0 \;\Rightarrow\; 4-4a^2\le 0 \;\Rightarrow\; a^2\ge 1 \;\Rightarrow\; a\le -1 \text{ или } a\ge 1.$$

С учётом условия $$a<0$$ получаем

$$a\le -1.$$

Если же неравенство не имеет решений, то парабола должна быть направлена вверх, а дискриминант — положительным:

$$a>0,$$

$$D>0 \;\Rightarrow\; 4-4a^2>0 \;\Rightarrow\; a^2<1 \;\Rightarrow\; -1<a<1.$$

С учётом условия $$a>0$$ имеем

$$0<a<1.$$

Ответ: а) $$a\in(-\infty;-1];$$ б) $$a\in(0;1).$$